喊你来讲题！
把知识讲给别人是最高效的学习方法！学习金字塔理论和费曼学习法都证明了这一点。咔咔来讲为你提供一个平台，请你来解答下列问题，并将解题过程录制出来，让你因‘分享知识’而进步，让知识因‘被分享’而更有意义。
题目1
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=\displaystyle\frac{2\pi}{3}$，点$D$在线段$BC$上，$AD\perp AC$，$\displaystyle\frac{BD}{CD}=\frac{1}{4}$，求$\sin C.$
题目2
在锐角$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边为$a$，$b$，$c$，若$\displaystyle\frac{\sin B\sin C}{3\sin A} = \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos C}{c}$且$\sin^2 A + \sin^2 B – \sin^2 C = \sin A \cdot \sin B$，求$\displaystyle\frac{c^2}{a + b}$的取值范围。题目3
$△ABC$的内角$A、B、C$的对边分别为$a，b，c，$已知$(c – 2b)\cos A + \displaystyle \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2b} = 0$（1）若$a = 4$，$b + c = 8$，求$△ABC$的面积；
（2）若角$C$为钝角，求$\displaystyle \frac{c}{b}$的取值范围.
题目4
记\(\triangle ABC\)的内角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)，已知\(\triangle ABC\)的面积为\(\sqrt{3}\)，\(D\)为\(BC\)中点，且\(AD = 1\)．(1)若\(\angle ADC = \displaystyle \frac{\pi}{3}\)，求\(\tan B\)；
(2)若\(b^2 + c^2 = 8\)，求\(b,c\)．
题目5
在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，点$O$是$\triangle ABC$的外心，$a\cos(C – \displaystyle \frac{\pi}{3}) = \displaystyle \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$。(1)求角$A$；
(2)若$\triangle ABC$外接圆的周长为$4\sqrt{3}\pi$，求$\triangle ABC$周长的取值范围。
题目6
在 \(\triangle ABC\) 中，内角 \(A, B, C\) 的对边分别为 \(a, b, c\)，且 \(c = 2b\)，\(2\sin A = 3\sin 2C\)。(1) 求 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) 的值；
(2) 若 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{2}\)，求 \(AB\) 边上的高。