喊你来讲题！
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题目1
如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=\displaystyle\frac{2\pi}{3}$，点$D$在线段$BC$上，$AD\perp AC$，$\displaystyle\frac{BD}{CD}=\frac{1}{4}$，求$\sin C.$
答案
答案:$\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{10}$.题目2
在锐角$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边为$a$，$b$，$c$，若$\displaystyle\frac{\sin B\sin C}{3\sin A} = \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos C}{c}$且$\sin^2 A + \sin^2 B – \sin^2 C = \sin A \cdot \sin B$，求$\displaystyle\frac{c^2}{a + b}$的取值范围。答案
答案:$[\sqrt{3},2)$.题目3
$△ABC$的内角$A、B、C$的对边分别为$a，b，c，$已知$(c – 2b)\cos A + \displaystyle \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2b} = 0$（1）若$a = 4$，$b + c = 8$，求$△ABC$的面积；
（2）若角$C$为钝角，求$\displaystyle \frac{c}{b}$的取值范围.
答案
答案:$(1) S=4\sqrt{3}; (2) (2,+\infty)$.题目4
记\(\triangle ABC\)的内角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)，已知\(\triangle ABC\)的面积为\(\sqrt{3}\)，\(D\)为\(BC\)中点，且\(AD = 1\)．(1)若\(\angle ADC = \displaystyle \frac{\pi}{3}\)，求\(\tan B\)；
(2)若\(b^2 + c^2 = 8\)，求\(b,c\)．
答案
答案:$(1) \tan B=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{5}; (2) b=c=2$.题目5
在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，点$O$是$\triangle ABC$的外心，$a\cos(C – \displaystyle \frac{\pi}{3}) = \displaystyle \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$。(1)求角$A$；
(2)若$\triangle ABC$外接圆的周长为$4\sqrt{3}\pi$，求$\triangle ABC$周长的取值范围。
答案
答案:$(1) A=\frac{\pi}{3}; (2) (12,18]$.题目6
在 \(\triangle ABC\) 中，内角 \(A, B, C\) 的对边分别为 \(a, b, c\)，且 \(c = 2b\)，\(2\sin A = 3\sin 2C\)。(1) 求 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) 的值；
(2) 若 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{2}\)，求 \(AB\) 边上的高。
答案
答案:$(1) \frac{a}{b}=\frac{3\sqrt{2}}{2}; (2) \frac{3\sqrt{7}}{4}$.题目7
(多选题) 在斜三角形 \( ABC \) 中，\( A \)、\( B \)、\( C \) 对应边分别为 \( a \)、\( b \)、\( c \)，\( \sin A = \cos B \)，则( )
A. \( \triangle ABC \) 为锐角三角形
B. 若 \( a=1 \)，则 \( b=\tan B \)
C. \( 2\tan B + \tan C \) 最小值为 \( \displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{3} \)
D. \( 1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \displaystyle\frac{5}{4} \)
答案
答案:$BCD$.题目8
记\(\triangle ABC\)的内角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)，已知\(a\cos B – c = \sqrt{3}a\sin B\)，\(a = 3\)．(1)求\(A\)；
(2)若点\(D\)是边\(BC\)上靠近\(C\)的三等分点，且\(AB \perp AD\)，求\(AD\)的长．
答案
答案:$(1) A=\displaystyle \frac{5\pi}{6}; (2) AD=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{7}$.题目9
已知$\triangle ABC$为锐角三角形，$\sin(A-B)=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$，且$\tan C=7$．(1) 求$\sin A\cos B$；
(2) 求$B$；
(3) 若$\triangle ABC$的面积为$7$，求$\triangle ABC$外接圆的周长．