观看人数： 259
题目
1.将 3 个不同的小球任意地放人 4 个不同的玻璃杯中, 玻璃杯足够大，若杯子中球的最多\\个数记为 X , 求 X 的分布列.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:
\begin{matrix}
X& 1& 2&3 \\
P& \displaystyle \frac{3}{8} & \displaystyle\frac{9}{16} &\displaystyle\frac{1}{16}
\end{matrix}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.甲同学参加学校的答题闯关游戏, 游戏共分为两轮, 第一轮为初试, 共有5 道题, 已知~~~~\\这 5 道题中甲同学只能答对其中 3 道, 从这 5 道题目中随机抽取 3 道题供参赛者作答, 答~~~~~\\对其中两题及以上即视为通过初试; 第二轮为复试, 共有 2 道题目, 甲同学答对其中每道~\\题的概率均为 \frac{1}{2} , 两轮中每道题目答对得 6 分, 答错得 0 分, 两轮总分不低于 24 分即可晋~~~~\\级决赛.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求甲通过初试的概率;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)求甲晋级决赛的概率, 并在甲晋级决赛的情况下, 随机变量 X 为甲的得分成绩, 求 X ~~\\的数学期望.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)\frac{7}{10};(2)甲进决赛的概率为\frac{9}{40},E(X)=\frac{74}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
二项分布及均值方差
3.一只小虫从数轴上的原点出发爬行, 若每次爬行过程中, 小虫等概率地向前或向后~~~~~\\爬行 1 个单位, 设爬行 n 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 \xi_{n} , 求 E(\xi_{4})，E(\xi_{5}).~~~~~~~~答案
答案： E(\xi_{4})=E(\xi_{5})=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.一个袋子中装有除颜色外完全相同的 5 个球, 其中 2 个白球, 3 个黑球, 现从袋子中有放~~\\回地随 机取球 4 次, 每次取一个球, 取到白球记 2 分, 取到黑球记 0 分, 记 4 次取球的总分~~~~~\\数为 X , 求 X 的方差 D(X).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：\frac{96}{25}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5. 高尔顿钓板是英国生物学家高尔顿设计的, 如图, 每一个黑点表示钉在板上的一颗钉~~\\子, 上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间, 从入口处放进~\\一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球, 白色圆玻璃球向下降落的过程中, ~\\首先碰到最上面的钉子, 碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下, 于是又碰到~\\下一层钉子, 如此继续下去, 直到滚到底板的一个格子内为止. 现从入口处放进一个白色\\圆玻璃球, 记白色圆玻璃球落入格子的编号为 X , 求随机变量 X 的期望与方差。~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：E(X)=3;D(X)=1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习1.小王到某公司面试,一共要回答 3 道题,每道题答对得 2 分,答错倒扣 1 分,设他每~\\道题答对的概率均为 p (0 < p < 1) ,且每道题答对与否相互独立.记小王答完 3 道题的~~~\\总得分为 X ,则当 E(X)+D(X) 取得最大值时, p= (\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \frac{1}{4} \quad
B. \frac{1}{3} \quad
C. \frac{2}{3} \quad
D. \frac{3}{4} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:C;提示:设答对题的个数为 Y ,则 Y \sim B(3, p) ,所以 E(Y)=3 p, ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\D(Y)=3 p(1-p) .由题意知 X=2 Y-(3-Y)=3 Y- 3.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\所以 E(X)=3 E(Y)-3=9 p-3, D(X)=9 D(Y)=27 p(1-p) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\所以 E(X)+D(X)=-27 p^{2}+36 p-3= -27\left(p-\frac{2}{3}\right)^{2}+9 ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\所以当 E(X)+D(X) 取得最大值时, p=\frac{2}{3} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.箱子中有标号为1,2,3,4,5,6且大小形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个~~\\球，记下号码后放回，如果两个号码之积是4的倍数，则获奖。若4人参与摸奖，求~~~~\\恰好有3人获奖的概率。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：\frac{96}{625};提示：获奖概率\frac{2}{5},获奖人数\xi \sim ~B(4,\frac{2}{5}).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.中心极限定理是概率论中的一个重要结论. 根据该定理，若随机变量 \xi \sim B(n, p) ，~~~~\\则当 n p>5 且 n(1-p)>5 时， \xi 可以由服从正态分布的随机变量 \eta 近似替代，且 \xi 的~~~~~\\期望与方差分别与 \eta 的期望与方差近似相等. 现投郑一枚质地均匀分布的骰子 100 次，~~~\\利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于 60 的概率 . (保留小数点后四位)~~~~\\附：若随机变量 Z 服从正态分布 N\left(\mu, \sigma^{2}\right) ，则 P(\mu-\sigma \leqslant Z \leqslant \mu+\sigma) \approx 0.6827 ，~~~~~~~~~\\
P(\mu-2 \sigma \leqslant Z \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 0.9545, P(\mu-3 \sigma \leqslant Z \leqslant \mu+3 \sigma) \approx 0.9973 \text {. }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：0.9773；提示： \xi \sim B(100, \frac{1}{2}),\therefore \eta \sim N(50, 25)，由正态分布可求.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.已知红方,蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 \frac{2}{3} ,红方,蓝方空中拦截对方炮~\\
弹成功的概率分别为 \frac{1}{2}, \frac{1}{4} ,现红方,蓝方进行模拟对抗训练,每次由一方先发射一枚炮弹\\攻击对方目标,另一方再进行空中拦截,轮流进行,各攻击对方目标一次为 1 轮对抗.经过\\
数轮对抗后,当一方比另一方多击中对方目标两次时,训练结束.假定红方,蓝方互不影~~\\
响,各轮结果也互不影响.记在1轮对抗中,红方击中蓝方目标为事件 A ,蓝方击中红方目~\\
标为事件 B .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求概率 P(A), P(B) ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)设随机变量 X 表示经过 1 轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差,求 X 的分布列\\
和数学期望;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)求在 3 轮对抗后训练结束的条件下,红方比蓝方多击中对方目标两次的概率.~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1)P(A)=\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{1}{2}(红方攻击且蓝方未拦截成功),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\P(B)=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{3}(蓝方攻击且红方未拦截成功);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) P(X = - 1)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{6},P(X = 1)=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3},P(X = 0)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{2}.
\\
(3)
事件C:红比蓝多 2:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
红：√~√~√,|~~~√√√,|~×√~√,|~~√×√\\
蓝：×√~×,|~~√××,|~~××~×,|~~×××\\
事件D:红比蓝多 2,同理.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\P(C)=\frac{24}{216},P(D)=\frac{6}{216}P(C|(C+D))=\frac{4}{5}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\9.某校举办定点投篮挑战赛,规则如下:每位参赛同学可在 A, B 两点进行投篮,共投~~~\\两次.第一次投篮点可在 A, B 两点处随机选择一处,若投中,则第二次投篮点不变；若~\\末投中,则第二次切换投篮点.在 A 点投中得 2 分,在 B 点投中得 3 分,末投中均得 0 分,各~\\次投中与否相互独立.小明在 A 点投中的概率为 0.7 ,在 B 点投中的概率为 0.3 .~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(i)求小明第一次投中的概率;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(ii)记小明投篮总得分为 X ,求 X 的分布列及数学期望.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:(1)0.5;(2)E(X)=2.4;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:(ⅰ)设事件 C 为＂第一次投中＂,事件 A 为＂第一次在 A 点投篮＂,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\事件 B 为＂第一次在 B 点投篮＂.根据全概率公式:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ P(C)=P(A) P(C \mid A)+P(B) P(C \mid B)=0.5 \times 0.7+0.5 \times 0.3=0.5 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\
(ⅱ) X 的可能取值为 0, ~ 2, ~ 3, ~ 4, ~ 6 .因此, X 的分布列为:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\P(X=0)=0.5 \times 0.3 \times 0.7+0.5 \times 0.7 \times 0.3=0.21 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
P(X=2)=0.5 \times 0.7 \times 0.3+0.5 \times 0.7 \times 0.7=0.35 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
P(X=3)=0.5 \times 0.3 \times 0.3+0.5 \times 0.3 \times 0.7=0.15~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\
P(X=4)=0.5 \times 0.7 \times 0.7=0.245~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\
P(X=6)=0.5 \times 0.3 \times 0.3=0.045 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
E(X)=2.4 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
