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题目
1.将 3 个不同的小球任意地放人 4 个不同的玻璃杯中, 玻璃杯足够大，若杯子中球的最多\\个数记为 X , 求 X 的分布列.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:
\begin{matrix}
X& 1& 2&3 \\
P& \displaystyle \frac{3}{8} & \displaystyle\frac{9}{16} &\displaystyle\frac{1}{16}
\end{matrix}
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2.甲同学参加学校的答题闯关游戏, 游戏共分为两轮, 第一轮为初试, 共有5 道题, 已知~~~~\\这 5 道题中甲同学只能答对其中 3 道, 从这 5 道题目中随机抽取 3 道题供参赛者作答, 答~~~~~\\对其中两题及以上即视为通过初试; 第二轮为复试, 共有 2 道题目, 甲同学答对其中每道~\\题的概率均为 \frac{1}{2} , 两轮中每道题目答对得 6 分, 答错得 0 分, 两轮总分不低于 24 分即可晋~~~~\\级决赛.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求甲通过初试的概率;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)求甲晋级决赛的概率, 并在甲晋级决赛的情况下, 随机变量 X 为甲的得分成绩, 求 X ~~\\的数学期望.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)\frac{7}{10};(2)甲进决赛的概率为\frac{9}{40},E(X)=\frac{74}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
二项分布及均值方差
3.一只小虫从数轴上的原点出发爬行, 若每次爬行过程中, 小虫等概率地向前或向后~~~~~\\爬行 1 个单位, 设爬行 n 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 \xi_{n} , 求 E(\xi_{4})，E(\xi_{5}).~~~~~~~~答案
答案： E(\xi_{4})=E(\xi_{5})=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.一个袋子中装有除颜色外完全相同的 5 个球, 其中 2 个白球, 3 个黑球, 现从袋子中有放~~\\回地随 机取球 4 次, 每次取一个球, 取到白球记 2 分, 取到黑球记 0 分, 记 4 次取球的总分~~~~~\\数为 X , 求 X 的方差 D(X).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：\frac{96}{25}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5. 高尔顿钓板是英国生物学家高尔顿设计的, 如图, 每一个黑点表示钉在板上的一颗钉~~\\子, 上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间, 从入口处放进~\\一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球, 白色圆玻璃球向下降落的过程中, ~\\首先碰到最上面的钉子, 碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下, 于是又碰到~\\下一层钉子, 如此继续下去, 直到滚到底板的一个格子内为止. 现从入口处放进一个白色\\圆玻璃球, 记白色圆玻璃球落入格子的编号为 X , 求随机变量 X 的期望与方差。~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：E(X)=3;D(X)=1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.箱子中有标号为1,2,3,4,5,6且大小形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个~~\\球，记下号码后放回，如果两个号码之积是4的倍数，则获奖。若4人参与摸奖，求~~~~\\恰好有3人获奖的概率。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：\frac{96}{625};提示：获奖概率\frac{2}{5},获奖人数\xi \sim ~B(4,\frac{2}{5}).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.中心极限定理是概率论中的一个重要结论. 根据该定理，若随机变量 \xi \sim B(n, p) ，~~~~\\则当 n p>5 且 n(1-p)>5 时， \xi 可以由服从正态分布的随机变量 \eta 近似替代，且 \xi 的~~~~~\\期望与方差分别与 \eta 的期望与方差近似相等. 现投郑一枚质地均匀分布的骰子 100 次，~~~\\利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于 60 的概率 . (保留小数点后四位)~~~~\\附：若随机变量 Z 服从正态分布 N\left(\mu, \sigma^{2}\right) ，则 P(\mu-\sigma \leqslant Z \leqslant \mu+\sigma) \approx 0.6827 ，~~~~~~~~~\\
P(\mu-2 \sigma \leqslant Z \leqslant \mu+2 \sigma) \approx 0.9545, P(\mu-3 \sigma \leqslant Z \leqslant \mu+3 \sigma) \approx 0.9973 \text {. }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：0.9773；提示： \xi \sim B(100, \frac{1}{2}),\therefore \eta \sim N(50, 25)，由正态分布可求.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
