观看人数： 158
不等式的性质
1.已知实数 a, b, c 满足 a>b>c , 且 a+b+c=0 , 则下列说法正确的是 ( ~~~~~~ )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A\frac{1}{a-c}>\frac{1}{b-c}~~~~
B. a-c>2 b ~~~~
C. a^{2}>b^{2} ~~~~
D. a b+b c>0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：BC；提示：选项B,只需证a-b>b+c,即a-b>-a,即2a>b,显然成立.~~~~~~
2.已知实数 a, b, c 满足 a>b>c , 且 a+b+c=0 , 求\frac{c}{a}的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(-2,-\frac{1}{2});~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示：a>0,b=-(a+c)可得a>-(a+c)>c,同除以a,\Rightarrow 1>-(1+\frac{c}{a})>\frac{c}{a}~~~~~~~~~~~
一元二次不等式
1.解不等式:
（1）2x^2-3x-2>0;(2)-6x^2-x+2\ge 0;(3)x^2-3x>0;(4)x^2<9.~
答案
答案：(1)(-\infty ,-\frac{1}{2} )\cup (2,+\infty );(2)\left [ -\frac{2}{3} ,\frac{1}{2} \right ] ;(3)(-\infty ,0 )\cup (3,+\infty );(4)(-3,3)~~~~~~~~~~~~~
2.不等式ax^2+ax-1<0对\forall x \in R恒成立，求实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：-4< a\le 0;提示：a=0或\left\{\begin{matrix}
a<0 & \\
\bigtriangleup <0 &
\end{matrix}\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.关于x 的不等式x^2-4x-2-a\le 0在实数集R上有解,求实数a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：a\ge -6；提示：\bigtriangleup\ge0 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.关于x 的不等式x^2-4x-2-a\le 0在x \in [0,1]上有解,求实数a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：[-5,+\infty);提示：分离参数,a \ge x^2-4x-2在x \in [0,1]上有解.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.设函数 f(x)=m x^{2}-m x-1 , 命题 " \exists x \in[1,3], f(x) \leqslant-m+2 " 是假命题, 求实数 m ~\\ 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(3,+\infty).提示：法一、分离参量m>\frac{3}{x^2-x+1};法二、转化为" \forall x \in[1,3], ~~~~~~~\\f(x) >-m+2 " 是真命题，即mx^2-mx+m-3>0,讨论图象，注意此函数的对~~~~~\\称轴为定直线x=\frac{1}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.函数f(x)=x^2+ax+3,当x \in [-2,2]时，f(x)\ge a恒成立，求实数a的范围.~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：[-7,2];提示：法一、分离参量a,(x-1)a\ge -x^2-3,讨论x\in [-2,1),x=1,~~~~~\\x\in(1,2]三种情况；法二、不分离参数a,直接讨论g(x)=x^2+ax+3-a的对称轴~~~~~\\x=-\frac{a}{2} \le-2,-\frac{a}{2}\in(-2,2),-\frac{a}{2} \ge2三种情况.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.若不等式 x^{2}+p x>4 x+p-3 , 当 0 \leqslant p \leqslant 4 时恒成立, 求 x 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(-\infty,-1)\cup (3,+\infty).提示：转化为关于p的一次函数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\f(p)=(x-1)p+x^2-4x+3,只需\left\{\begin{matrix}
f(0)>0 \\f(4)>0
\end{matrix}\right..~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
分式不等式
1.\frac{f(x)}{g(x)}>0\Leftrightarrow f(x)g(x)>0;~~~~~~~~~2.\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
f(x)g(x)\ge 0 & \\
g(x)\ne 0&
\end{matrix}\right.
1.解下列分式不等式:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1) \frac{2 x-5}{x+1}>0 ；
(2) \frac{3 x-1}{2-x} \geq 0 ;
(3) \frac{3 x-1}{2-x} \leq 1 ;
(4) \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-2 x-3}<0 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(5) \frac{1}{x+1}<\frac{1}{x}+1 ;
(6) \frac{2 x^{2}-7 x+3}{x^{2}-4 x+4} \geq 2 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)(-\infty,-1) \cup\left(\frac{5}{2},+\infty\right) ;
(2) \left[\frac{1}{3}, 2\right) ;
(3) \left(-\infty, \frac{3}{4}\right] \cup(2,+\infty) ;
(4) (-1,1) \cup(2,3) ;~~~~~~~\\
(5) (-1,0);
(6) [5,+\infty) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
基本不等式
1.已知y=x+\frac{1}{x}，根据条件求值。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(1)x>0，求y的最小值;(2)x\ge \frac{1}{2}，求y的最小值;(3)x\ge 2，求y的最小值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(4)x<0，求y的最大值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)2;(2)2;(3)\frac{5}{2};(4)-2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.(1)已知 x>-1, 求x+\frac{1}{x+1} 的最小值;
(2) 已知 x>-1,求2x+\frac{1}{x+1} 的最小值.~~~~~~~~~\\
(3) 已知 x>1,求2 x+\frac{4}{x-1} 的最小值; (4)已知0 < x < \frac{1}{2}, 求\sqrt{x(1-2 x)} 的最大值.~~~~~~~~(5)求\sqrt{x^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}的最小值;(6)求\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}的最小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)1;(2)2\sqrt{2}-2;(3)4\sqrt{2}+2;(4)\frac{\sqrt{2}}{4};(5)\frac{5}{2};(6)2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.(1) 已知 a, b>0, a+b=2 ,求 \frac{1}{a}+\frac{2}{b} 的最小值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)已知 a, b>0, a+b=2 , 求\frac{1}{a}+\frac{2 a}{b} 的最小值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)已知 a, b>0, a+b=2 ,求 \frac{2 a+3}{a+1}+\frac{1}{b} 的最小值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)已知 x, y>0 , 且 x+y=2 , 求 \frac{2}{x+3 y}+\frac{1}{x-y} 的最小值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)已知-1 < a< 2,求\frac{1}{1+a}+\frac{4}{2-a}的最小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(6)已知a>2b>0,a+b=1,求\frac{1}{a-2b}+\frac{1}{b}的最小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)\sqrt{2}+\frac{3}{2};(2)\frac{5}{2};(3)\frac{10}{3};(4)\frac{2\sqrt{2} +3}{4} ;(5)3;(6)2\sqrt{2}-\frac{3}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知x>0，y\ge 0，且x＋2y＝1,求\frac{x+2y+1}{x}-\frac{4}{x+y}的最小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：-2；提示：\frac{x+2 y+1}{x}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+2 y+x+2 y}{x}-\frac{4 x+8 y}{x+y} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\=\frac{4 x+4 y-2 x}{x}-\frac{8 x+8 y-4 x}{x+y}=\frac{4 x+4 y}{x}+\frac{4 x}{x+y}-10\geqslant 2 \sqrt{\frac{4 x+4 y}{x} \cdot \frac{4 x}{x+y}}-10\\=-2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.(1)已知 x>0, y>0, x+3 y+x y=9 ，求 x+3 y 的最小值；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\(2)若正数 x, y 满足 x^{2}-x y+2=0 ,求 x+y 的最小值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)若 x, y 为正实数, 若 x+2 y=3 x y ,求 2 x+y 的最小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)答案：6；提示：方法一：基本不等式9-(x+3y)=xy\le \left ( \frac{x+3y}{2} \right ) ^2;方法二：~~~\\转化为函数,y=\frac{9-x}{3+x},x+3y=x+\frac{27-3x}{3+x};(2)答案：4;提示：转化为函数,~~~~~~~~~~~~~\\y=x+\frac{2}{x};(3)答案：3；提示：同除以xy得\frac{1}{y}+\frac{2}{x}=3.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
