观看人数： 233
任意角、三角函数的概念
1.(1)已知 \alpha 是第二象限角, 那么 \frac{\alpha}{2} 是(~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.第一象限角~~
B.第二象限角~~
C.第一或第二象限角~~
D.第一或第三象限角~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)已知 \alpha 是第二象限角, 那么 \frac{\alpha}{3} 是(~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.第二或第三或第四象限角~~
B.第一或第二或第三象限角~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
C.第一或第二或第四象限角~~
D.第一或第三或第四象限角~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)D,(2)C;提示：\alpha \in \left ( \frac{\pi }{2}+2k\pi , \pi +2k \pi \right ) ,k\in{Z},则\frac{\alpha }{2} \in \left ( \frac{\pi }{4}+k\pi , \frac{\pi }{2} +k \pi \right ) ,~\\k\in{Z}，在一、三象限;\frac{\alpha }{3} \in \left ( \frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi}{3} , \frac{\pi }{3} +\frac{2k\pi}{3} \right ) ,k\in{Z}，在第一或第二或第四象限.
2.若\sin x \cos x>0,\sin x +\cos x>0,则\frac{x}{2}是(~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\A.第一象限角~~
B.第二象限角~~
C.第一或第二象限角~~
D.第一或第三象限角~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：D;提示：x为第一象限角，原理同上~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.化简 \sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}-\sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}} , 其中 \alpha 为第二象限角.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:-2\tan \alpha;提示：原式\Rightarrow \sqrt{\frac{(1+\sin \alpha)^2}{1-\sin^2 \alpha}}-\sqrt{\frac{(1-\sin \alpha)^2}{1-\sin^2 \alpha}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知角 \alpha 的顶点为坐标原点, 始边为 x 轴的非负半轴, 若点 P(\sin \alpha , \boldsymbol{\operatorname { t a n }} \alpha )在第四象限, ~~~\\则角 \alpha 的终边在( ~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. 第一象限~~
B. 第二象限~~
C. 第三象限~~
D. 第四象限~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：B;提示： P(\sin \alpha , \boldsymbol{\operatorname { t a n }} \alpha )在第四象限,\sin \alpha >0且 \tan {\alpha}<0,\therefore \alpha在第二象限.~~~~~~~
5.已知角 \alpha 的终边上有一点 P 的坐标是 (3 a, 4 a) , 其中 a \neq 0 ,求 \sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha 的值.~~~~~~
答案
答案：a>0, 可令a=1,\sin \alpha=\frac{4}{5}, \cos \alpha=\frac{3}{5}, \tan \alpha=\frac{4}{3};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\a<0, 可令a=-1,\sin \alpha=-\frac{4}{5}, \cos \alpha=-\frac{3}{5}, \tan \alpha=\frac{4}{3} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.
已知角 \alpha 的终边过点 P\left(-8 m,-6 \sin 30^{\circ}\right) , 且 \cos \alpha=-\frac{4}{5} , 则 m 的值为 ( ~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. -\frac{1}{2} ~~
B. -\frac{\sqrt{3}}{2} ~~
C. \frac{1}{2} ~~
D. \frac{\sqrt{3}}{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: C;
提示： 由题意得点 P(-8 m,-3) ,
r=\sqrt{64 m^{2}+9}
所以 \cos \alpha=\frac{-8 m}{\sqrt{64 m^{2}+9}}~~~~~~\\=-\frac{4}{5} ,
所以 m>0 , 解得 m=\frac{1}{2} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.已知角 \alpha 的始边与 x 轴非负半轴重合, 终边在直线 y=4 x 上，求 \frac{\sin \alpha-2 \cos \alpha}{\tan \alpha} 的值.~~~~\\
答案
答案：\frac{\sqrt{17}}{34}
或 -\frac{\sqrt{17}}{34} ;提示:在第一象限取点(1,4),得 \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{17}}, \sin \alpha=\frac{4}{\sqrt{17}}, ~~~~~~~\\\tan \alpha=4 ;在第三象限取点(-1,-4),得 \cos \alpha=-\frac{1}{\sqrt{17}}, \sin \alpha=-\frac{4}{\sqrt{17}}, \tan \alpha=4 .~~~~~~~~~\\★注：由y=4x,\tan \alpha=4,\sin \alpha和\cos \alpha不唯一.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.(1)已知 \sin \alpha=-\frac{3}{5} , 求 \cos \alpha, \tan \alpha 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)已知 \tan \varphi=-\sqrt{3} , 求 \sin \varphi, \cos \varphi 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)求值：\cos 225^{\circ};\sin \frac{11 \pi}{3};\sin \left(-\frac{16 \pi}{3}\right);\cos \frac{65 \pi}{6}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1)\alpha为第三象限角时， \cos \alpha=-\frac{4}{5}, \tan \alpha =\frac{3}{4};\alpha为第四象限角时，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \cos \alpha=\frac{4}{5}, \tan \alpha =-\frac{3}{4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)\alpha为第二象限角时， \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha =-\frac{1}{2};\alpha为第四象限角时，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \sin \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha =\frac{1}{2}.★注：可令y=\sqrt{3},x=1,快速求|\sin x|和|\cos x|,再加符号.\\(3)-\frac{\sqrt{2} }{2} ;-\frac{\sqrt{3} }{2};\frac{\sqrt{3} }{2};-\frac{\sqrt{3} }{2}.提示:根据对称性转化到第一象限角.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.在平面直角坐标系中,动点 A 在以原点为圆心. 1 为半径的圆上,以 2 \mathrm{rad} / \mathrm{s} 的角速度按~~~~
\\逆时针方向做匀速圆周运动；动点 B 在以原点为圆心, 2 为半径的圆上,以 1 \mathrm{rad} / \mathrm{s} 的角速
\\度按逆时针方向做匀速圆周运动. A, B 分别以 A_{0}(0,1), B_{0}(2,0) 为起点同时开始运动,经\\过 t \mathrm{~s} 后.动点 A, B 的坐标分别为 \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) .则 y_{1}+x_{2} 的最小值为(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.-3\quad
B.-2\quad
C. -\frac{3}{2} \quad
D.-1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:C;提示:y_1+x_2=\sin{(\frac{\pi}{2}+2t)}+2\cos t.~~~~~~~~~~~~~~
三角公式的应用
1.
已知 \tan \alpha=2 , (1)求 \frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha} 的值;(2)求\sin \alpha\cos \alpha;(3)\cos ^2{\alpha+\sin 2\alpha.}~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1)3;(2)\frac{2}{5};(3)1;提示：利用齐次式，转化为\tan \alpha.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.若 \frac{1-\tan \left(\alpha-\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}{1+\tan \left(\alpha-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)}=\displaystyle\frac{1}{2} ,求 \cos 2 \alpha 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: -\frac{3}{5} ; 提示： 由已知 \Rightarrow \tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{3}, \Rightarrow \tan \alpha=2, \therefore \cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\\= \frac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}=-\frac{3}{5} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知角 \alpha, \beta 满足 \tan \alpha=\frac{1}{3}, 2 \sin \beta=\sin (2 \alpha+\beta) , 求 \tan \beta.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：\frac{1}{2} ;提示：\tan \alpha=\frac{1}{3}, \Rightarrow \sin2 \alpha=\frac{3}{5},\cos2 \alpha=\frac{4}{5},原式~2 \sin \beta=\sin (2 \alpha+\beta)~~~~~~~~\\
展开代入得 \tan \beta=\frac{1}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.若 \alpha 为锐角, \tan \alpha=\frac{1}{\cos 2 \alpha+1} , 则 \tan \alpha=(\quad) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\A. \frac{1}{2} ~~
B. 1~~
C. 2-\sqrt{3} ~~
D. \sqrt{3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案 :B;提示：
\tan \alpha=\frac{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{2 \cos ^{2} \alpha}=\frac{ \tan ^{2} \alpha+1}{2}
,即 \tan ^{2} \alpha-2 \tan \alpha+1=0 , ~~~~~~\\解得 \tan \alpha=1 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知 \theta \in(0, \pi), \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{5} , 求值(1)\sin \theta-\cos \theta; (2)\sin \theta;(3)\cos \theta;(4)\tan \theta.~~~~~~~\\
答案
答案:(1) \sin \theta-\cos \theta=\frac{7}{5};(2) \sin \theta=\frac{4}{5} ;
(3)\cos \theta=-\frac{3}{5} ;
(4)\tan \theta=-\frac{4}{3} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示：由题意知 \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{5}, 平方得 2 \sin \theta \cos \theta=-\frac{24}{25}<0 , 又 \because \theta \in(0, \pi), ~~~~~~~~~\\\therefore \frac{\pi}{2}<
\theta<\pi, \quad \therefore \sin \theta-\cos \theta>0, \quad \therefore \sin \theta-\cos \theta=\sqrt{1-2 \sin \theta \cos \theta}=\frac{7}{5}, ~~~~~~~~~~~~~~\\与已知联立， \sin \theta=\frac{4}{5}, \cos \theta=-\frac{3}{5} .
\therefore \tan \theta=-\frac{4}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.已知 -\pi < x < 0, \sin (\pi+x)-\cos x=-\frac{1}{5} , 求 \frac{\sin 2 x+2 \sin ^{2} x}{1-\tan x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案： -\frac{24}{175} ;提示：
由已知\Rightarrow \sin x+\cos x=\frac{1}{5}, \Rightarrow 2 \sin x \cos x=-\frac{24}{25} ,\Rightarrow~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(\sin x-\cos x)^{2}=1-2 \sin x \cos x =\frac{49}{25} , 缩小角的范围\Rightarrow -\frac{\pi}{2}< x< 0 \Rightarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\sin x-\cos x=-\frac{7}{5} ,\Rightarrow\sin x =-\frac{3}{5},\cos x=\frac{4}{5},\tan x=-\frac{3}{4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.化简\frac{\sin (2 \pi-\alpha) \cos (\pi+\alpha) \cos \left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\alpha\right) \cos \left(\displaystyle\frac{11 \pi}{2}-\alpha\right)}{\cos (\pi-\alpha) \sin (3 \pi-\alpha) \sin (-\pi-\alpha) \sin \left(\displaystyle\frac{9 \pi}{2}+\alpha\right)}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:-\tan \alpha;提示：化简为\frac{(-\sin \alpha)(-\cos \alpha)(- \sin\alpha) (-\sin \alpha)}{(-\cos \alpha)\sin \alpha\sin \alpha\cos \alpha}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.求值:(1)\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\sin 80^{\circ}};(2)\sin 40^{\circ}\left(\tan 10^{\circ}-\sqrt{3}\right); (3)\frac{2 \cos 58^{\circ}+\sin 28^{\circ}}{\cos 28^{\circ}};~~~~~~~~~~~~~\\
(4) \frac{\sin ^{2} 35^{\circ}-\displaystyle\frac{1}{2}}{\cos 10^{\circ} \cdot \cos 80^{\circ}}; (5)2 \sqrt{1+\sin 4}+\sqrt{2+2 \cos 4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案 (1)4; 提示:原式 =\frac{\cos 10^{\circ}-\sqrt{3} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cos 10^{\circ}}= \frac{4 \sin \left(30^{\circ}-10^{\circ}\right)}{\sin 20^{\circ}}=4 ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2)-1; 提示：\sin 40^{\circ} \cdot\left(\frac{\sin 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}-\sqrt{3}\right)=\sin 40^{\circ} \cdot \frac{\sin 10^{\circ}-\sqrt{3} \cos 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
=\sin 40^{\circ} \cdot \frac{-2 \sin 50^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=\frac{-2 \sin 40^{\circ} \cdot \cos 40^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=\frac{-\sin 80^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=-1 ;(3)\sqrt{3};
提示:原式 =\frac{2 \cos \left(30^{\circ}+28^{\circ}\right)+\sin 28^{\circ}}{\cos 28^{\circ}}=\frac{\sqrt{3} \cos 28^{\circ}}{\cos 28^{\circ}}=\sqrt{3} ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)-1;原式=\frac{\displaystyle\frac{1-\cos 70^{\circ}}{2}-\frac{1}{2}}{\cos 10^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ}}
=-\frac{\cos 70^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ}}=-\frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=-1 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)2 \sin 2;原式=2 \sqrt{(\sin 2+\cos 2)^{2}}+\sqrt{4 \cos ^{2} 2}
=2|\sin 2+\cos 2|+2|\cos 2|~~~~~~~~~~~~~~~~~\\=2(\sin 2+\cos 2)-2 \cos 2=2 \sin 2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.(1) 若 \alpha+\beta=-\frac{3 \pi}{4} , 求 (1+\tan \alpha)(1+\tan \beta);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)求 \left(1+\tan 13^{\circ}\right)\left(1+\tan 17^{\circ}\right)\left(1+\tan 28^{\circ}\right) \cdot\left(1+\tan 32^{\circ}\right).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
(1)答案:2;提示： \boldsymbol{\operatorname { t a n }}(\alpha+\beta)=\frac{\boldsymbol{\operatorname { t a n }} \alpha+\tan \beta}{1-\boldsymbol{\operatorname { t a n }} \alpha \boldsymbol{\operatorname { t a n }} \beta}=1 ,
\therefore 1-\tan \alpha \boldsymbol{\operatorname { t a n }} \beta=\tan \alpha+\tan \beta ,
\\则 (1+\tan \alpha) \cdot(1+\tan \beta)=1+\tan \alpha+\tan \beta+\tan \alpha \boldsymbol{\operatorname { t a n }} \beta=2 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)答案:4;提示:同(1),\left(1+\tan 13^{\circ}\right)\left(1+\tan 32^{\circ}\right)=\left(1+\tan 17^{\circ}\right)\left(1+\tan 28^{\circ}\right)=2
.~~
10.将下列函数化简为y=A\sin(\omega x+\varphi )+b的形式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(1)f(x)=2\sin^2\omega x+2\sqrt{3}\sin\omega x\cos\omega x-1;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)f(x)=(1-\sqrt{3}) \cos ^{2} x+\sin x \cos x+\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3) f(x)=\sin \left(2 \omega x-\frac{\pi}{6}\right)-2 \cos ^{2} \omega x+1 ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(4) f(x)=\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(5)f(x)=\sin \omega x \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)-\sin ^{2} \omega x ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(6)f(x)=\cos ^{4} x-2 \sin x \cdot \cos x-\sin ^{4} x;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(7)f(x)=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3} \sin (\pi-x) \cos x-\cos 2 x .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1) f(x)=2 \sin \left(2\omega x-\frac{\pi}{6}\right);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1-\sqrt{3}}{2};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3) f(x)=\sqrt{3} \sin \left(2 \omega x-\frac{\pi}{3}\right) ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(4)f(x)=\frac{1}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2} ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(5)f(x)=\frac{1}{2} \sin \left(2 \omega x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{4};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(6)f(x)=\cos 2 x-\sin 2 x=-\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(7)f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)提示: 降幂公式 \sin ^{2} \omega x=\frac{1-\cos 2 \omega x}{2} \Rightarrow f(x)=-\cos 2 \omega x+ \sqrt{3} \sin 2 \omega x~~~~~~~~~~~~~~~~~\\=2 \sin \left(2 \omega x-\frac{\pi}{6}\right) ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)提示:f(x) =(1-\sqrt{3}) \frac{1+\cos 2 x}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1}{2}\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
=\frac{1-\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3} \cos 2 x}{2}+\frac{1}{2} \sin 2 x=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1-\sqrt{3}}{2};~~~~~~~~\\
(3) 提示:f(x) =\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 \omega x-\frac{1}{2} \cos 2 \omega x-\cos 2 \omega x
=\sqrt{3}\left(\frac{1}{2} \sin 2 \omega x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \omega x\right)~\\=\sqrt{3} \sin \left(2 \omega x-\frac{\pi}{3}\right);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\\
(4)提示: f(x)=\cos ^{2}\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x=\frac{1+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
=\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \cos 2 x+\frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2 x=\frac{1}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2} ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(5)提示:
f(x)=\sin \omega x\left(\sin \omega x \cos \frac{\pi}{3}+\cos \omega x \sin \frac{\pi}{3}\right)-\sin ^{2} \omega x=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \omega x \sin \omega x-~\\\frac{1}{2} \sin ^{2} \omega x
=\frac{\sqrt{3}}{4} \sin 2 \omega x-\frac{1}{4}(1-\cos 2 \omega x)=\frac{1}{2} \sin \left(2 \omega x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{4};
\\
(6)提示: f(x)=\cos ^{4} x-\sin ^{4} x-2 \sin x \cdot \cos x=\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)\left(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x\right)-~~\\\sin 2 x
=\cos 2 x-\sin 2 x=-\sqrt{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(7)提示: f(x)=\frac{1+\cos 2 x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\cos 2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\frac{1}{2} \cos 2 x+\frac{1}{2} ~~~~~~~~~~~~~~~\\
=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
用已知角表示所求角
1.(1)已知 \alpha 为锐角, 且 \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{5}{13} , 求 \cos \alpha 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\(2)若\sin (\theta +\frac{\pi}{6})=\frac{1}{3},\theta\in(0,\pi)，求\cos\theta的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)在 \triangle A B C 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, \sin 2 B=\frac{1}{5} b \cos B ,且角 B 为锐角,~~~~\\ b=8, \sin A=\frac{1}{3} ,求 \sin (2 B+C) 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：(1)\frac{5 \sqrt{3}+12}{26} ;提示： \cos \alpha=\cos \left[\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}\right],其中，\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{12}{13} .~~~(2)答案:\frac{1-2\sqrt{6}}{6};提示: \cos \theta=\cos \left[\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}\right],其中，\because \theta\in(0,\pi),\therefore \theta+\frac{\pi}{6}\in\\ (\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6})\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}>\sin (\theta +\frac{\pi}{6})=\frac{1}{3},\therefore \theta +\frac{\pi}{6}不能是锐角,\cos(\theta +\frac{\pi}{6})=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.~~~~~~~~~~(3)答案:\frac{3-8\sqrt{2}}{15};提示:\sin B =\frac{4}{5},\cos B=\frac{3}{5},\sin B >\sin A,\therefore B > A,\cos A=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\\ \sin (2 B+C) =\sin (\pi+B-A)=-\sin (B-A).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知 \sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \sin (\beta-\alpha)=-\frac{\sqrt{10}}{10}, \alpha, \beta 均为锐角, 则 \beta 等于 (~~ )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \frac{5 \pi}{12} ~~
B. \frac{\pi}{3} ~~
\mathrm{C} \frac{\pi}{4} ~~
D. \frac{\pi}{6} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:C;提示: \sin \beta=\sin [\alpha+(\beta-\alpha)]=\sin \alpha \cdot \cos (\beta-\alpha)+\cos \alpha \cdot \sin (\beta-\alpha), \alpha, \beta ~~ \\均为锐角, 所以 \cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos (\beta-\alpha)=\frac{3 \sqrt{10}}{10} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知 \alpha, \beta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right), \sin (\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}, \sin \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{24}{25} , 求 \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right).~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：-\frac{4}{5} ;提示： \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\cos \left[(\alpha+\beta)-\left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)\right],其中,\because \alpha+\beta \in~~~~~~~~~~~~~~\\
\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right) , \therefore \cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}; \because \beta-\frac{\pi}{4} \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right) ,\therefore \cos \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{7}{25} .~~~~~~~~~~~~~~~~~
4. 已知 \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{10}}{10}, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) , 求 \sin \left(2 \theta-\frac{\pi}{3}\right).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：\frac{4-3 \sqrt{3}}{10} ;提示:令t=\theta+\frac{\pi}{4},则\cos t=\frac{\sqrt{10}}{10}且t \in \left ( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right ) ,\theta =t- \frac{\pi}{4}, ~~~~~~~~~~~~\\则\sin \left(2 \theta-\frac{\pi}{3}\right)= \sin \left(2 t-\frac{2\pi}{3}\right),其中\sin 2t=\frac{3}{5},\cos 2t=-\frac{4}{5}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式1. 已知 \alpha 为锐角, \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5} , 求 \sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:\frac{7\sqrt{2} }{50} ;提示：令\alpha +\frac{\pi }{6} =t,则\cos t=\frac{4}{5} ,\sin t=\frac{3}{5}, \sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)=\sin (2t-\frac{\pi }{4} ) ~~\\=\frac{\sqrt{2} }{2} (\sin 2t-\cos 2t)=\frac{7\sqrt{2} }{50}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~变式2.若 \cos \left(\frac{\pi}{3}-2 x\right)=-\frac{7}{8} , 则 \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) 的值为(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \frac{1}{4} \quad
B. \frac{7}{8} \quad
C. \pm \frac{1}{4} \quad
D.\pm \frac{7}{8} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:C;令\frac{\pi}{3}-2 x=t,\cos t=-\frac{7}{8}, \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) =\cos \frac{t}{2}=\pm \frac{1}{4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5.已知 \sin \left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{3} , 0< x< \frac{\pi}{6} , 求 \sin \left(\frac{\pi}{6}+x\right)-\cos \left(\frac{2 \pi}{3}+x\right) 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: \frac{4 \sqrt{2}}{3} ;
提示：令 \frac{\pi}{3}-x=t, \therefore \frac{\pi}{6} < t<\frac{\pi}{3}, 且 x=\frac{\pi}{3}-t\therefore \sin t=\frac{1}{3} ，方法同上.~~~~
6.(1)求函数f(x)=3\sin x+\sqrt{3}\cos x,x\in[0,\pi]的值域;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)求函数f(x)=3\sin x + 4\cos x,x\in[0,\pi]的值域.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: (1)[-\sqrt3,2\sqrt3];(2)[-4,5]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:(1)f(x)=2\sqrt{3}\sin(x + \frac{\pi}{6}),x\in[0,\pi],x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}],
f(x)值域为[-\sqrt3,2\sqrt3].\\
(2)f(x)=5(\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x)，设\cos\varphi=\frac{3}{5}，\sin\varphi=\frac{4}{5}，\varphi\in(0,\frac{\pi}{2}),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore f(x)=5\sin(x + \varphi)，x+\varphi\in[\varphi,\pi+\varphi]，f(x)_{\max}=5，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f(x)_{\min}=5\sin(\pi+\varphi)= - 5\sin\varphi=-4,
\therefore f(x)值域[-4,5]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.若函数 f(x)=2 \sin x+\cos x-\sqrt{3}, x \in(0, \pi) 的两个零点分别为 x_{1} 和 x_{2} ，~~~~~~~~~~~~~~~~\\求 \cos \left(x_{1}-x_{2}\right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案: (1)[-\sqrt3,2\sqrt3];(2)[-4,5]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:(1)f(x)=2\sqrt{3}\sin(x + \frac{\pi}{6}),x\in[0,\pi],x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}],
f(x)值域为[-\sqrt3,2\sqrt3].\\
(2)f(x)=5(\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x)，设\cos\varphi=\frac{3}{5}，\sin\varphi=\frac{4}{5}，\varphi\in(0,\frac{\pi}{2}),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore f(x)=5\sin(x + \varphi)，x+\varphi\in[\varphi,\pi+\varphi]，f(x)_{\max}=5，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f(x)_{\min}=5\sin(\pi+\varphi)= - 5\sin\varphi=-4,
\therefore f(x)值域[-4,5]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
