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任意角、三角函数的概念
1.(1)已知α是第二象限角,那么2α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角
(2)已知α是第二象限角,那么3α是( ) A.第二或第三或第四象限角 B.第一或第二或第三象限角 C.第一或第二或第四象限角 D.第一或第三或第四象限角
答案
答案:(1)D,(2)C;提示:α∈(2π+2kπ,π+2kπ),k∈Z,则2α∈(4π+kπ,2π+kπ), k∈Z,在一、三象限;3α∈(6π+32kπ,3π+32kπ),k∈Z,在第一或第二或第四象限.
2.若sinxcosx>0,sinx+cosx>0,则2x是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角
答案
答案:D;提示:x为第一象限角,原理同上
3.化简1−sinα1+sinα−1+sinα1−sinα,其中α为第二象限角.
答案
答案:−2tanα;提示:原式⇒1−sin2α(1+sinα)2−1−sin2α(1−sinα)2
4.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若点P(sinα,tanα)在第四象限, 则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案
答案:B;提示:P(sinα,tanα)在第四象限,sinα>0且tanα<0,∴α在第二象限.
5.已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4a),其中a=0,求sinα,cosα,tanα的值.
答案
答案:a>0,可令a=1,sinα=54,cosα=53,tanα=34; a<0,可令a=−1,sinα=−54,cosα=−53,tanα=34.
6.已知角α的终边过点P(−8m,−6sin30∘),且cosα=−54,则m的值为( ) A.−21 B.−23 C.21 D.23
答案
答案:C;提示:由题意得点P(−8m,−3),r=64m2+9所以cosα=64m2+9−8m =−54,所以m>0,解得m=21.
7.已知角α的始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=4x上,求tanαsinα−2cosα的值.
答案
答案:3417或−3417;提示:在第一象限取点(1,4),得cosα=171,sinα=174, tanα=4;在第三象限取点(−1,−4),得cosα=−171,sinα=−174,tanα=4. ★注:由y=4x,tanα=4,sinα和cosα不唯一.
8.(1)已知sinα=−53,求cosα,tanα的值.
(2)已知tanφ=−3,求sinφ,cosφ的值.
(3)求值:cos225∘;sin311π;sin(−316π);cos665π.
答案
答案:(1)α为第三象限角时,cosα=−54,tanα=43;α为第四象限角时, cosα=54,tanα=−43. (2)α为第二象限角时,sinα=23,cosα=−21;α为第四象限角时, sinα=−23,cosα=21.★注:可令y=3,x=1,快速求∣sinx∣和∣cosx∣,再加符号.(3)−22;−23;23;−23.提示:根据对称性转化到第一象限角.
9.在平面直角坐标系中,动点A在以原点为圆心.1为半径的圆上,以2rad/s的角速度按 逆时针方向做匀速圆周运动;动点B在以原点为圆心,2为半径的圆上,以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.A,B分别以A0(0,1),B0(2,0)为起点同时开始运动,经过t s后.动点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).则y1+x2的最小值为() A.−3B.−2C.−23D.−1
答案
答案:C;提示:y1+x2=sin(2π+2t)+2cost.
三角公式的应用
1.已知tanα=2,(1)求sinα−cosαsinα+cosα的值;(2)求sinαcosα;(3)cos2α+sin2α.
答案
答案:(1)3;(2)52;(3)1;提示:利用齐次式,转化为tanα.
2.若1+tan(α−4π)1−tan(α−4π)=21,求cos2α的值.
答案
答案:−53;提示:由已知⇒tan(α−4π)=31,⇒tanα=2,∴cos2α=cos2α−sin2α=1+tan2α1−tan2α=−53.
3.已知角α,β满足tanα=31,2sinβ=sin(2α+β),求tanβ.
答案
答案:21;提示:tanα=31,⇒sin2α=53,cos2α=54,原式 2sinβ=sin(2α+β) 展开代入得tanβ=21.
4.若α为锐角,tanα=cos2α+11,则tanα=() A.21 B.1 C.2−3 D.3
答案
答案:B;提示:tanα=2cos2αsin2α+cos2α=2tan2α+1,即tan2α−2tanα+1=0, 解得tanα=1.
5.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=51,求值(1)sinθ−cosθ;(2)sinθ;(3)cosθ;(4)tanθ.
答案
答案:(1)sinθ−cosθ=57;(2)sinθ=54;(3)cosθ=−53;(4)tanθ=−34. 提示:由题意知sinθ+cosθ=51,平方得2sinθcosθ=−2524<0,又∵θ∈(0,π), ∴2π<θ<π,∴sinθ−cosθ>0,∴sinθ−cosθ=1−2sinθcosθ=57, 与已知联立,sinθ=54,cosθ=−53.∴tanθ=−34.
6.已知−π<x<0,sin(π+x)−cosx=−51,求1−tanxsin2x+2sin2x.
答案
答案:−17524;提示:由已知⇒sinx+cosx=51,⇒2sinxcosx=−2524,⇒ (sinx−cosx)2=1−2sinxcosx=2549,缩小角的范围⇒−2π<x<0⇒ sinx−cosx=−57,⇒sinx=−53,cosx=54,tanx=−43.
7.化简cos(π−α)sin(3π−α)sin(−π−α)sin(29π+α)sin(2π−α)cos(π+α)cos(2π+α)cos(211π−α).
答案
答案:−tanα;提示:化简为(−cosα)sinαsinαcosα(−sinα)(−cosα)(−sinα)(−sinα)
8.求值:(1)sin10∘1−sin80∘3;(2)sin40∘(tan10∘−3);(3)cos28∘2cos58∘+sin28∘;
(4)cos10∘⋅cos80∘sin235∘−21;(5)21+sin4+2+2cos4.
答案
答案(1)4;提示:原式=sin10∘cos10∘cos10∘−3sin10∘=sin20∘4sin(30∘−10∘)=4;
(2)−1;提示:sin40∘⋅(cos10∘sin10∘−3)=sin40∘⋅cos10∘sin10∘−3cos10∘ =sin40∘⋅cos10∘−2sin50∘=cos10∘−2sin40∘⋅cos40∘=cos10∘−sin80∘=−1;
(3)3;提示:原式=cos28∘2cos(30∘+28∘)+sin28∘=cos28∘3cos28∘=3;
(4)−1;原式=cos10∘⋅sin10∘21−cos70∘−21=−2sin10∘⋅cos10∘cos70∘=−sin20∘sin20∘=−1.
(5)2sin2;原式=2(sin2+cos2)2+4cos22=2∣sin2+cos2∣+2∣cos2∣ =2(sin2+cos2)−2cos2=2sin2.
9.(1)若α+β=−43π,求(1+tanα)(1+tanβ); (2)求(1+tan13∘)(1+tan17∘)(1+tan28∘)⋅(1+tan32∘).
答案
(1)答案:2;提示:tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ=1,∴1−tanαtanβ=tanα+tanβ,则(1+tanα)⋅(1+tanβ)=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=2. (2)答案:4;提示:同(1),(1+tan13∘)(1+tan32∘)=(1+tan17∘)(1+tan28∘)=2.
10.将下列函数化简为y=Asin(ωx+φ)+b的形式.
(1)f(x)=2sin2ωx+23sinωxcosωx−1; (2)f(x)=(1−3)cos2x+sinxcosx+sin(x+4π)sin(x−4π); (3)f(x)=sin(2ωx−6π)−2cos2ωx+1; (4)f(x)=cos2(x+6π)+23sin2x; (5)f(x)=sinωxsin(ωx+3π)−sin2ωx; (6)f(x)=cos4x−2sinx⋅cosx−sin4x; (7)f(x)=sin2(2π+x)+3sin(π−x)cosx−cos2x.
答案
答案:(1)f(x)=2sin(2ωx−6π); (2)f(x)=sin(2x−3π)+21−3; (3)f(x)=3sin(2ωx−3π); (4)f(x)=21sin(2x+6π)+21; (5)f(x)=21sin(2ωx+6π)−41; (6)f(x)=cos2x−sin2x=−2sin(2x−4π); (7)f(x)=sin(2x−6π)+21.
(1)提示:降幂公式sin2ωx=21−cos2ωx⇒f(x)=−cos2ωx+3sin2ωx =2sin(2ωx−6π); (2)提示:f(x)=(1−3)21+cos2x+21sin2x+21(sin2x−cos2x) =21−3−23cos2x+21sin2x=sin(2x−3π)+21−3; (3)提示:f(x)=23sin2ωx−21cos2ωx−cos2ωx=3(21sin2ωx−23cos2ωx) =3sin(2ωx−3π); (4)提示:f(x)=cos2(x+6π)+23sin2x=21+cos(2x+3π)+23sin2x =21+41cos2x+43sin2x=21sin(2x+6π)+21; (5)提示:f(x)=sinωx(sinωxcos3π+cosωxsin3π)−sin2ωx=23cosωxsinωx− 21sin2ωx=43sin2ωx−41(1−cos2ωx)=21sin(2ωx+6π)−41;(6)提示:f(x)=cos4x−sin4x−2sinx⋅cosx=(cos2x−sin2x)(cos2x+sin2x)− sin2x=cos2x−sin2x=−2sin(2x−4π); (7)提示:f(x)=21+cos2x+23sin2x−cos2x=23sin2x−21cos2x+21 =sin(2x−6π)+21.
用已知角表示所求角
1.(1)已知α为锐角,且cos(α+6π)=135,求cosα的值. (2)若sin(θ+6π)=31,θ∈(0,π),求cosθ的值. (3)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B=51bcosB,且角B为锐角, b=8,sinA=31,求sin(2B+C)的值.
答案
答案:(1)2653+12;提示:cosα=cos[(α+6π)−6π],其中,sin(α+6π)=1312.
(2)答案:61−26;提示:cosθ=cos[(θ+6π)−6π],其中,∵θ∈(0,π),∴θ+6π∈(6π,67π)sin6π=21>sin(θ+6π)=31,∴θ+6π不能是锐角,cos(θ+6π)=−322.
(3)答案:153−82;提示:sinB=54,cosB=53,sinB>sinA,∴B>A,cosA=322.sin(2B+C)=sin(π+B−A)=−sin(B−A).
2.已知sinα=525,sin(β−α)=−1010,α,β均为锐角,则β等于( ) A.125π B.3π C4π D.6π
答案
答案:C;提示:sinβ=sin[α+(β−α)]=sinα⋅cos(β−α)+cosα⋅sin(β−α),α,β 均为锐角,所以cosα=55,cos(β−α)=10310.
3.已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=−53,sin(β−4π)=2524,求cos(α+4π).
答案
答案:−54;提示:cos(α+4π)=cos[(α+β)−(β−4π)],其中,∵α+β∈ (23π,2π),∴cos(α+β)=54;∵β−4π∈(2π,43π),∴cos(β−4π)=−257.
4.已知cos(θ+4π)=1010,θ∈(0,2π),求sin(2θ−3π).
答案
答案:104−33;提示:令t=θ+4π,则cost=1010且t∈(4π,43π),θ=t−4π, 则sin(2θ−3π)=sin(2t−32π),其中sin2t=53,cos2t=−54.
变式1.已知α为锐角,cos(α+6π)=54,求sin(2α+12π).
答案
答案:5072;提示:令α+6π=t,则cost=54,sint=53,sin(2α+12π)=sin(2t−4π) =22(sin2t−cos2t)=5072.
变式2.若cos(3π−2x)=−87,则sin(x+3π)的值为() A.41B.87C.±41D.±87
答案
答案:C;令3π−2x=t,cost=−87,sin(x+3π)=cos2t=±41.
5.已知sin(3π−x)=31,0<x<6π,求sin(6π+x)−cos(32π+x)的值.
答案
答案:342;提示:令3π−x=t,∴6π<t<3π,且x=3π−t∴sint=31,方法同上.
6.(1)求函数f(x)=3sinx+3cosx,x∈[0,π]的值域; (2)求函数f(x)=3sinx+4cosx,x∈[0,π]的值域.
答案
答案:(1)[−3,23];(2)[−4,5] 提示:(1)f(x)=23sin(x+6π),x∈[0,π],x+6π∈[6π,67π],f(x)值域为[−3,23].(2)f(x)=5(53sinx+54cosx),设cosφ=53,sinφ=54,φ∈(0,2π), ∴f(x)=5sin(x+φ),x+φ∈[φ,π+φ],f(x)max=5, f(x)min=5sin(π+φ)=−5sinφ=−4,∴f(x)值域[−4,5]
7.若函数f(x)=2sinx+cosx−3,x∈(0,π)的两个零点分别为x1和x2, 求cos(x1−x2)
答案
答案:(1)[−3,23];(2)[−4,5] 提示:(1)f(x)=23sin(x+6π),x∈[0,π],x+6π∈[6π,67π],f(x)值域为[−3,23].(2)f(x)=5(53sinx+54cosx),设cosφ=53,sinφ=54,φ∈(0,2π), ∴f(x)=5sin(x+φ),x+φ∈[φ,π+φ],f(x)max=5, f(x)min=5sin(π+φ)=−5sinφ=−4,∴f(x)值域[−4,5]