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题目
1.椭圆C与双曲线2x2−2y2=1有相同的焦点,且过(1,23). (1)求椭圆C的方程. (2)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为A,B,当动点M在直线x=4上运动时,直线 AM,BM分别交椭圆于点P,Q. a.证明:点B在以PQ为直径的圆内; b.求四边形APBQ面积的最大值.
练习1:.已知椭圆Γ:a2x2+b2y2=1(a>b>0)的离心率为21,且经过点(1,23). (1)求椭圆Γ的方程; (2)已知O为坐标原点,若平行四边形OACB的三个顶点A,B,C均在椭圆Γ上,求证:平 行四边形OACB的面积为定值.
答案
答案:(1)椭圆Γ的方程为4x2+3y2=1,(2)提示; (2)证明:(i)若直线AB的斜率不存在,设直线AB的方程为x=t,由对称性可知t=±1,则∣AB∣=∣y1−y2∣=3,S△AOB=23,平行四边形OACB的面积为3. (ii)若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,联立{y=kx+m3x2+4y2=12, 消元y整理得(4k2+3)x2+8kmx+4(m2−3)=0,则Δ=48(4k2+3−m2)>0, x1+x2=−4k2+38km,x1x2=4k2+34(m2−3),y1+y2=k(x1+x2)+2m=4k2+36m, ∵OACB为平行四边形,OA+OC=OB,∴B在椭圆上,代入椭圆Γ的方程, 整理得4k2+3=4m2,于是S△AOB=21∣m∣∣x1−x2∣=21∣m∣⋅4m248⋅3m2=23,则平行四边形OACB的面积为3.
练习2.设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交 圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明∣EA∣+∣EB∣为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交 于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
参考图象
答案
答案:(1)4x2+3y2=1(y=0),(2)[12,83); 提示:(1)∣EB∣=∣ED∣,所以∣EA∣+∣EB∣=4>∣AB∣,所以,E点轨迹为椭圆. (2)因为直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+1 因为l⊥PQ,设直线PQ的方程为y=−m(x−1).设M(x1,y1), 由{x=my+13x2+4y2=12可得(3m2+4)y2+6my−9=0. 可得y1+y2=−3m2+46m,y1y2=−3m2+49. 则∣MN∣=1+m2⋅∣y1−y2∣=3m2+412(m2+1), 又圆心A到PQ距离d=m2+1∣2m∣,所以∣PQ∣=242−d2=1+m244+3m2, S四边形 MPNQ=21∣MN∣⋅∣PQ∣=21⋅3m2+412(m2+1)⋅m2+143m2+4=243+m2+111. 当m=0时,S取得最小值12,又1+m21>0,可得S<83,所以S∈[12,83)
2.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(−c,0),F2(c,0)(c>0),点M在椭圆E上, MF2⊥F1F2,∆MF1F2的周长为4+23,面积为21c. (1)求椭圆E的方程. (2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点(1,0)的直线l与椭圆E交于C,D两点(不同于左右顶点),记直线AC的斜率为k1,直线BD的斜率为k2,问是否存在实常数λ,使得k1=λk2恒成立?若成立,求出λ的值,若不成立,说明理由.
练习1.已知双曲线C:a2x2−b2y2=1(a>0,b>0),四点M1(4,32),M2(3,2), M3(−2,−33),M4(2,33)中恰有三点在C上. (1)求C的方程; (2)过点(3,0)的直线l交C于P,Q两点,过点P作直线x=1的垂线,垂足为A.证明:直 线AQ过定点.
答案
答案:(1)3x2−y2=1.(2)证明:①若l与x轴不重合,设l:x=ty+3,由⎩⎨⎧x=ty+3,3x2−y2=1,得(t2−3)y2+6ty+6=0,所以{t2−3=0,Δ=(6t)2−24(t2−3)>0,y1+y2=−t2−36t,y1y2=t2−36.又直线AQ的方程为y−y1=x2−1y2−y1(x−1),由对称性可知,直线l过的定点在x轴,令y=0,.x0=−y2−y1y1(ty2+2)=y2−y1ty1y2+2y1+1=2.直线AQ过定点(2,0). ②当l与x轴重合时,直线AQ过定点(2,0).综上,直线AQ过定点(2,0).
3.已知椭圆W:4mx2+my2=1(m>0)的长轴长为4,左、右顶分别为A,B经过点 P(1,0)的动直线与椭圆W交于不同的两点C,D(不与点A,B重合)。 (1)求椭圆W的方程及离心率; (2)若直线CB与直线AD相交于M,判断点M是否位于一条定直线上?若是,求出该 直线的方程,若不是说明理由。
4.已知椭圆C:a2x2+b2y2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线E:y2=2px(p>0)的焦 点相同,曲线C的离心率为21,M(2,y)为E上的一点且∣MF∣=3. (1)求曲线C和曲线E的方程。 (2)若直线l:y=kx+2交曲线C与P,Q两点,l交y轴于R. a.求三角形POQ面积的最大值(O为坐标原点)。b.BP=λRQ,求实数λ的取值范围。
5.已知拋物线y2=2x,过点N(2,0)作两条直线l1,l2分别交拋物线于A,B和C,D(其中 A,C在x轴上方). (1)当l1垂直于x轴,且四边形ACBD的面积为45,求直线l2的方程; (2)当l1,l2倾斜角互补时,直线AC与直线BD交于点M,求△MAB的内切圆的圆心横坐 标的取值范围.
答案
(1)l1⊥x轴,⇒A(2,2),B(2,−2),S=21∣AB∣∣xC−xD∣=45设l2:y=k(x−2), 联立y2=2x⇒∣xC−xD∣=k216k2+4=25⇒k2=1或k2=−51(舍) ∴l2:y=±(x−2). (2)由题意AD,BC关于x轴对称,∴AC,BD交点在x轴,设AC:y=kx+m, 联立y2=2x,⇒ky2−2y+2m=0,y1+y2=k2,y1y2=k2m. kAN+kCN=0,⇒x1−2y1+x2−2y2=0,⇒y1y2=4=k2m,∴m=2k ∴AC:y=kx+2k,∴AC过(−2,0)∴AC,BD交点M(−2,0), ∵MA,MD关于x轴对称,∴△MAB的圆心Q在x轴上, 设Q(t,0),A(x1,y1)∴∣NQ∣∣MQ∣=∣NA∣∣MA∣⇒t−2t+2=(x1−2)2+y12(x1+2)2+y12=x12−2x1+4x12+6x1+4=1+x12−2x1+48x1=1+x1+x14−28∈(1,5)⇒t∈(0,3−5).