练习1:.已知椭圆 \Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) 的离心率为 \frac{1}{2},且经过点 \left(1,\frac{3}{2}\right) .~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求椭圆 \Gamma 的方程;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)已知 O 为坐标原点,若平行四边形 O A C B 的三个顶点 A, B, C 均在椭圆 \Gamma 上,求证:平~\\行四边形 O A C B 的面积为定值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考图象
答案
答案:(1)椭圆 \Gamma 的方程为 \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 ,(2)提示;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\(2)证明:(i)若直线 A B 的斜率不存在,设直线 A B 的方程为 x=t ,由对称性可知 t= \pm 1 ,\\则 |A B|=\left|y_{1}-y_{2}\right|=3, S_{\triangle A O B}=\frac{3}{2} ,平行四边形 O A C B 的面积为 3 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(ii)若直线 A B 的斜率存在,设直线 A B 的方程为 y=k x+m ,联立 \left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ 3 x^{2}+4 y^{2}=12\end{array}\right. ,~~
\\消元 y 整理得 \left(4 k^{2}+3\right) x^{2}+8 k m x+4\left(m^{2}-3\right)=0 ,则 \Delta=48\left(4 k^{2}+3-m^{2}\right)>0, ~~~~~\\
\boxed{x_{1}+x_{2}=-\frac{8 k m}{4 k^{2}+3} } , x_{1} x_{2}=\frac{4\left(m^{2}-3\right)}{4 k^{2}+3}, \boxed{y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 m=\frac{6 m}{4 k^{2}+3} },~~~~~~
\\\because OACB为平行四边形,\boxed{\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{OB} ,\therefore B在椭圆上},
代入椭圆 \Gamma 的方程, ~~~~~~~~~~~~~~\\
整理得 \boxed{ 4 k^{2}+3=4 m^{2}} ,于是 S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2}|m|\left|x_{1}-x_{2}\right|=
\frac{1}{2}|m| \cdot \frac{\sqrt{48 \cdot 3 m^{2}}}{4 m^{2}}=\frac{3}{2} ,则平行\\四边形 O A C B 的面积为 3 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习2.设圆 x^{2}+y^{2}+2 x-15=0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合, l 交~~~~~\\圆 A 于 C, D 两点,过 B 作 A C 的平行线交 A D 于点 E .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明 |E A|+|E B| 为定值,并写出点 E 的轨迹方程;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)设点 E 的轨迹为曲线 C_{1} ,直线 l 交 C_{1} 于 M, N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交~~~~\\于 P, Q 两点,求四边形 M P N Q 面积的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考图象
答案
答案:(1)\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1(y\ne 0),(2)[12,8\sqrt{3});~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:(1)|EB|=|ED|,所以|EA|+|EB|=4>|AB|,所以,E点轨迹为椭圆.~~~~~~~~~~~~\\
(2)因为直线 l 的斜率不为 0 ,设直线 l 的方程为 x=m y+1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
因为 l \perp P Q ,设直线 P Q 的方程为 y=-m(x-1).设M\left(x_{1}, y_{1}\right), ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
由\begin{cases}x = my + 1\\3x^{2}+4y^{2}=12\end{cases}可得(3m^{2}+4)y^{2}+6my - 9 = 0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
可得y_{1}+y_{2}=-\frac{6m}{3m^{2}+4},y_{1}y_{2}=-\frac{9}{3m^{2}+4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\则\vert MN\vert=\sqrt{1 + m^{2}}\cdot\vert y_{1}-y_{2}\vert=\frac{12\left(m^{2}+1\right)}{3 m^{2}+4} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\又圆心 A 到 P Q 距离 d=\frac{|2 m|}{\sqrt{m^{2}+1}} ,所以 |P Q|=2 \sqrt{4^{2}-d^{2}}= \frac{4 \sqrt{4+3 m^{2}}}{\sqrt{1+m^{2}}}, ~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
S_{\text {四边形 } M P N Q}=\frac{1}{2}|M N| \cdot|P Q|=\frac{1}{2} \cdot \frac{12\left(m^{2}+1\right)}{3 m^{2}+4} \cdot \frac{4 \sqrt{3 m^{2}+4}}{\sqrt{m^{2}+1}}=24 \sqrt{\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{m^{2}+1}}} .~~\\
当m = 0时,S取得最小值12,又\frac{1}{1 + m^{2}}>0,可得S<8\sqrt{3},所以S\in[12,8\sqrt{3})~~~~~~~~~~
5.已知拋物线 y^{2}=2 x ,过点 N(2,0) 作两条直线 l_{1}, l_{2} 分别交拋物线于 A, B 和 C, D (其中~~~~\\ A, C 在 x 轴上方).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)当 l_{1} 垂直于 x 轴,且四边形 A C B D 的面积为 4 \sqrt{5} ,求直线 l_{2} 的方程;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当 l_{1}, l_{2} 倾斜角互补时,直线 A C 与直线 B D 交于点 M ,求 \triangle M A B 的内切圆的圆心横坐~\\标的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~