圆锥曲线综合题-提高篇

题目

1.椭圆𝐶与双曲线2𝑥^2-2𝑦^2=1有相同的焦点,且过(1,\frac{3}{2}).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求椭圆𝐶的方程.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为𝐴,𝐵,当动点𝑀在直线𝑥=4上运动时,直线~~~~~~\\𝐴𝑀,𝐵𝑀分别交椭圆于点𝑃,𝑄.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
𝑎.证明:点𝐵在以𝑃𝑄为直径的圆内;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
𝑏.求四边形𝐴𝑃𝐵𝑄面积的最大值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习1:.已知椭圆  \Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)  的离心率为  \frac{1}{2},且经过点  \left(1,\frac{3}{2}\right) .~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求椭圆  \Gamma  的方程;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)已知  O  为坐标原点,若平行四边形  O A C B  的三个顶点  A, B, C  均在椭圆  \Gamma  上,求证:平~\\行四边形  O A C B  的面积为定值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考图象

答案

答案:(1)椭圆  \Gamma  的方程为  \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 ,(2)提示;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\(2)证明:(i)若直线  A B  的斜率不存在,设直线  A B  的方程为  x=t ,由对称性可知  t= \pm 1  ,\\则  |A B|=\left|y_{1}-y_{2}\right|=3, S_{\triangle A O B}=\frac{3}{2}  ,平行四边形  O A C B  的面积为 3 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(ii)若直线  A B  的斜率存在,设直线  A B  的方程为  y=k x+m  ,联立  \left\{\begin{array}{l}y=k x+m \\ 3 x^{2}+4 y^{2}=12\end{array}\right.  ,~~
\\消元  y  整理得  \left(4 k^{2}+3\right) x^{2}+8 k m x+4\left(m^{2}-3\right)=0  ,则  \Delta=48\left(4 k^{2}+3-m^{2}\right)>0, ~~~~~\\
\boxed{x_{1}+x_{2}=-\frac{8 k m}{4 k^{2}+3} } ,  x_{1} x_{2}=\frac{4\left(m^{2}-3\right)}{4 k^{2}+3}, \boxed{y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 m=\frac{6 m}{4 k^{2}+3}  },~~~~~~
\\\because OACB为平行四边形,\boxed{\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OC} =\overrightarrow{OB} ,\therefore B在椭圆上},
代入椭圆  \Gamma  的方程, ~~~~~~~~~~~~~~\\

整理得 \boxed{ 4 k^{2}+3=4 m^{2}}  ,于是  S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2}|m|\left|x_{1}-x_{2}\right|=
\frac{1}{2}|m| \cdot \frac{\sqrt{48 \cdot 3 m^{2}}}{4 m^{2}}=\frac{3}{2}  ,则平行\\四边形  O A C B  的面积为 3 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习2.设圆  x^{2}+y^{2}+2 x-15=0  的圆心为  A ,直线  l  过点  B(1,0)  且与  x  轴不重合, l  交~~~~~\\圆  A  于  C, D  两点,过  B 作  A C  的平行线交  A D  于点  E  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明  |E A|+|E B|  为定值,并写出点  E  的轨迹方程;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)设点  E  的轨迹为曲线  C_{1}  ,直线  l  交  C_{1}  于  M, N  两点,过  B  且与  l  垂直的直线与圆  A  交~~~~\\于  P, Q 两点,求四边形  M P N Q  面积的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考图象

答案

答案:(1)\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1(y\ne 0),(2)[12,8\sqrt{3});~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:(1)|EB|=|ED|,所以|EA|+|EB|=4>|AB|,所以,E点轨迹为椭圆.~~~~~~~~~~~~\\
(2)因为直线  l  的斜率不为 0 ,设直线  l  的方程为  x=m y+1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
因为  l \perp P Q  ,设直线  P Q  的方程为  y=-m(x-1).设M\left(x_{1}, y_{1}\right), ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\

由\begin{cases}x = my + 1\\3x^{2}+4y^{2}=12\end{cases}可得(3m^{2}+4)y^{2}+6my - 9 = 0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
可得y_{1}+y_{2}=-\frac{6m}{3m^{2}+4},y_{1}y_{2}=-\frac{9}{3m^{2}+4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\则\vert MN\vert=\sqrt{1 + m^{2}}\cdot\vert y_{1}-y_{2}\vert=\frac{12\left(m^{2}+1\right)}{3 m^{2}+4}  ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\又圆心  A  到  P Q  距离  d=\frac{|2 m|}{\sqrt{m^{2}+1}}  ,所以  |P Q|=2 \sqrt{4^{2}-d^{2}}=   \frac{4 \sqrt{4+3 m^{2}}}{\sqrt{1+m^{2}}}, ~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
S_{\text {四边形 } M P N Q}=\frac{1}{2}|M N| \cdot|P Q|=\frac{1}{2} \cdot   \frac{12\left(m^{2}+1\right)}{3 m^{2}+4} \cdot \frac{4 \sqrt{3 m^{2}+4}}{\sqrt{m^{2}+1}}=24 \sqrt{\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{m^{2}+1}}}  .~~\\
当m = 0时,S取得最小值12,又\frac{1}{1 + m^{2}}>0,可得S<8\sqrt{3},所以S\in[12,8\sqrt{3})~~~~~~~~~~


2.已知椭圆𝐸的左、右焦点分别为𝐹_1(-c,0),𝐹_2(c,0)(c>0),点𝑀在椭圆𝐸上,~~~~~~~~~~~~~~\\𝑀𝐹_2⊥𝐹_1𝐹_2, ∆𝑀𝐹_1𝐹_2的周长为4+2\sqrt{3},面积为\frac{1}{2}𝑐.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求椭圆𝐸的方程.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)设椭圆𝐸的左、右顶点分别为𝐴,𝐵,过点(1,0)的直线𝑙与椭圆𝐸交于𝐶,𝐷两点(不同于\\左右顶点),记直线𝐴𝐶的斜率为𝑘_1,直线𝐵𝐷的斜率为𝑘_2,问是否存在实常数λ,使得\\𝑘_1=λk_2恒成立?若成立,求出λ的值,若不成立,说明理由.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
练习1.已知双曲线  C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)  ,四点  M_{1}\left(4, \frac{\sqrt{2}}{3}\right), M_{2}(3, \sqrt{2}), ~~~~~~~~~~\\M_{3}\left(-2,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)  ,  M_{4}\left(2, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)  中恰有三点在  C  上.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求  C  的方程;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)过点  (3,0)  的直线  l  交  C  于  P, Q  两点,过点  P  作直线  x=1  的垂线,垂足为  A  .证明:直~~~\\线  A Q  过定点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)  \frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1  .
(2)证明:①若  l  与  x  轴不重合,设  l: x=t y+3  ,
由  \left\{\begin{array}{l}x=t y+3, \\ \displaystyle\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1,\end{array}\right.  \\得  \left(t^{2}-3\right) y^{2}+6 t y+6=0  ,
所以  \left\{\begin{array}{l}t^{2}-3 \neq 0, \\ \Delta=(6 t)^{2}-24\left(t^{2}-3\right)>0,\end{array}\right.    y_{1}+y_{2}=-\frac{6 t}{t^{2}-3}, \\y_{1} y_{2}=\frac{6}{t^{2}-3}  .
又直线  A Q  的方程为  y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-1}(x-1)  ,
由对称性可知,直线l过的定\\点在x 轴,令y=0,.\boxed{x_0=-  \frac{y_{1}\left(t y_{2}+2\right)}{y_{2}-y_{1}}=\frac{t y_{1} y_{2}+2 y_{1}}{y_{2}-y_{1}}+1=2}.直线  A Q  过定点  (2,0)  .~~~\\
②当  l  与  x  轴重合时,直线  A Q  过定点  (2,0)  .综上,直线  A Q  过定点  (2,0)  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.已知椭圆W:\frac{x^2}{4m}+\frac{y^2}{m}=1(m>0)的长轴长为4,左、右顶分别为A,B经过点~~~~~~~~~~\\P(1,0)的动直线与椭圆W交于不同的两点C,D(不与点A,B重合)。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求椭圆W的方程及离心率;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若直线CB与直线AD相交于M,判断点M是否位于一条定直线上?若是,求出该~~~~\\直线的方程,若不是说明理由。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

4.已知椭圆C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线E:y^2=2px(p>0)的焦~~~~\\点相同,曲线C的离心率为\frac{1}{2},M(2,y)为E上的一点且|MF|=3.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\
(1)求曲线C和曲线E的方程。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~  \\
(2)若直线l:y=kx+2交曲线C与P,Q两点,l交y轴于R.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\
a.求三角形POQ面积的最大值(O为坐标原点)。\quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \quad   \\
b.\vec{BP}=λ\vec{RQ},求实数λ的取值范围。\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
5.已知拋物线  y^{2}=2 x  ,过点  N(2,0)  作两条直线  l_{1}, l_{2}  分别交拋物线于  A, B  和  C, D (其中~~~~\\  A, C  在  x  轴上方).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)当  l_{1}  垂直于  x  轴,且四边形  A C B D  的面积为  4 \sqrt{5}  ,求直线  l_{2}  的方程;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当  l_{1}, l_{2}  倾斜角互补时,直线  A C  与直线  B D  交于点  M  ,求  \triangle M A B  的内切圆的圆心横坐~\\标的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

(1) l_1\perp x轴,\Rightarrow A(2,2),B(2, - 2),S=\frac{1}{2}|AB|\vert x_C - x_D\vert=4\sqrt{5}
设l_2:y = k(x - 2),~~~~~~~~
\\联立y^{2}=2x\Rightarrow\vert x_C - x_D\vert=\frac{\sqrt{16k^{2}+4}}{k^{2}} = 2\sqrt{5}
\Rightarrow k^{2}=1或k^{2}=-\frac{1}{5}(舍)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\
 \therefore l_2:y=\pm(x - 2).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
 
(2) 由题意AD,BC关于x轴对称,\therefore AC,BD交点在x轴,
设AC:y = kx + m,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
联立y^{2}=2x,\Rightarrow ky^{2}-2y + 2m = 0,
y_1 + y_2=\frac{2}{k},y_1y_2=\frac{2m}{k}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\k_{AN}+k_{CN}=0,\Rightarrow\frac{y_1}{x_1 - 2}+\frac{y_2}{x_2 - 2}=0,
\Rightarrow y_1y_2 = 4=\frac{2m}{k},\therefore m = 2k  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\therefore AC:y=kx + 2k,\therefore AC过(-2,0)
\therefore AC,BD交点M(-2,0),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\because MA,MD关于x轴对称,
\therefore\triangle MAB的圆心Q在x轴上,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
设Q(t,0),A(x_1,y_1)
\therefore\frac{\vert MQ\vert}{\vert NQ\vert}=\frac{\vert MA\vert}{\vert NA\vert}\Rightarrow\frac{t + 2}{t - 2}=\frac{\sqrt{(x_1 + 2)^{2}+y_1^{2}}}{\sqrt{(x_1 - 2)^{2}+y_1^{2}}}=\sqrt{\frac{x_1^{2}+6x_1 + 4}{x_1^{2}-2x_1 + 4}}
=\\\sqrt{1+\frac{8x_1}{x_1^{2}-2x_1 + 4}}=\sqrt{1+\frac{8}{x_1+\frac{4}{x_1}-2}}\in(1,\sqrt{5})
\Rightarrow t\in(0,3-\sqrt{5}).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

留下评论