观看人数： 156
抛物线的焦点弦性质1-4
模型条件：如图，𝐴𝐵为抛物线𝑦^2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点弦,𝑙为准线，𝐴𝐴'⟂𝑙，𝐵𝐵'⟂𝑙,\\𝐴𝑀⟂𝑥轴，𝐵𝑁⟂𝑥轴,坐标𝐴(𝑥_1,𝑦_1),𝐵(𝑥_2,𝑦_2),𝐹(\frac{𝑝}{2},0)，𝐴𝐵的倾斜角为θ.~~~~~~~~~~~~~~~~~
性质1. |𝐴𝐵|=𝑥_1+𝑥_2+𝑝~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
性质2. 𝑥_1·𝑥_2=\frac{𝑝^2}{4};𝑦_1·𝑦_2=-𝑝^2~~~~~~~~~~~~~性质3. |𝐴𝐹|=\frac{𝑝}{1-\cosθ};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\|𝐵𝐹|=\frac{𝑝}{1+\cosθ}~~~~~~~~~~~~\\性质4.\frac{1}{|𝐴𝐹|}+\frac{1}{|𝐵𝐹|}=\frac{2}{p};|𝐴𝐵|=\frac{2𝑝}{\sin^2θ}~~
抛物线的焦点弦性质5-7
模型条件：如图，𝐴𝐵为抛物线𝑦^2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点弦,𝑙为准线，𝐴𝐴'⟂𝑙，𝐵𝐵'⟂𝑙,\\坐标𝐴(𝑥_1,𝑦_1),𝐵(𝑥_2,𝑦_2),𝐹(\frac{𝑝}{2},0)，𝐴𝐵的倾斜角为θ.𝑀,𝑁分别是𝐴𝐵,𝐴'𝐵'中点，𝑀𝑁~~\\交抛物线于𝑅。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
性质5.𝑆_{∆𝐴𝑂𝐵}=𝑆_{∆𝐴'𝑂𝐵'}=\frac{𝑝^2}{2\sinθ}~~~~~~~~~~~~性质6.|𝑁𝑅|=|𝑀𝑅|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
性质7.|𝑅𝐹|=\frac{1}{2}|𝑀𝑁|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
抛物线的焦点弦性质8-10
模型条件：如图，𝐴𝐵为抛物线𝑦^2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点弦,𝑙为准线，𝐴𝐴'⟂𝑙，𝐵𝐵'⟂𝑙,\\坐标𝐴(𝑥_1,𝑦_1),𝐵(𝑥_2,𝑦_2),𝐹(\frac{𝑝}{2},0)，𝐴𝐵的倾斜角为θ.𝑀,𝑁分别是𝐴𝐵,𝐴'𝐵'中点.~~~~~~~~~~~~
性质9.𝐾𝐹平分∠𝐴𝐾𝐵~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
抛物线的焦点弦性质11
模型条件：如图，𝐴𝐵为抛物线𝑦^2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点弦,𝑙为准线，𝐴𝐴'⟂𝑙，𝐵𝐵'⟂𝑙,\\坐标𝐴(𝑥_1,𝑦_1),𝐵(𝑥_2,𝑦_2),𝐹(\frac{𝑝}{2},0)，𝐴𝐵的倾斜角为θ.𝑀,𝑁分别是𝐴𝐵,𝐴'𝐵'中点.~~~~~~~~~~~~
性质11.四个相切圆.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
抛物线的焦点弦性质12
模型条件：如图，𝐴𝐵为抛物线𝑦^2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点弦,𝑙为准线，𝐴𝑂的延长线交准\\线𝑙于点𝐶.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
性质12.𝐵𝐶//𝑥轴~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
性质练习题
1.已知抛物线 C: y^{2}=2 p x(p>0) 的焦点为 F,直线 l 的斜率为 \sqrt{3} 且经过点 F ,与抛物~~~~~~\\线 C 交于 A, B 两点(点 A 在第一象限)与抛物线 C 的准线交于点 D,若 |A F|=8,则以下~~~~~\\结论正确的是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. p=4 \quad
B.\overrightarrow{D F}=\overrightarrow{F A} \quad
C.|B D|=2|B F| \quad
D.|B F|=4 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:ABC;提示:
\angle E A F=60^{\circ},|A E|=|A F|,则 \triangle A E F为 ~\\等边三角形, |P F|=p=4,F 为 A D 中点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.设 O 为坐标原点,直线 y=-\sqrt{3}(x-1) 过抛物线 C:y^{2}=2 p x(p>0) 的焦点,且与 C 交~\\于 M, N 两点,l 为 C 的准线,则(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.p=2 \quad
B.|M N|=\frac{8}{3} \quad
C.以 M N 为直径的圆与 l 相切\quad
D.\triangle O M N 为等腰三角形~~~~~~~~~答案
答案:AC;提示:利用焦点弦的性质,直线倾斜角为120^{\circ}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.已知抛物线 C:y^{2}=2 p x(p>0) 的焦点为 F ,过 F 且倾斜角为 \frac{\pi}{3} 的直线交 C 于 A , B 两点,\\线段 A B 中点的纵坐标为 \sqrt{3} ,则 |A B|=(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\A． \frac{8}{3} \quad
B.4\quad
C. 8\quad
D.24~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:C;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:点差法 \Rightarrow k_{A B}=\frac{2 p}{y_{1}+y_{2}}=\sqrt{3}, \Rightarrow p=3, A B 的倾斜角为 \frac{\pi}{3},|A B|=\frac{2 p}{\sin ^{2} \theta}=8 .~
4.已知点 F 为抛物线 C: y^{2}=4 x 的焦点,过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点,且 ~~~~~~~~~~~\\\overrightarrow{A F}=t \overrightarrow{F B}(t>1),|A B|=\frac{16}{3} ,求 t.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:3;提示:\frac{1}{|\overrightarrow{A F}|}+\frac{1}{|\overrightarrow{B F}|}=\frac{2}{p},|\overrightarrow{F B}|+|\overrightarrow{A F}|=\frac{16}{3} \Rightarrow t=3.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.如图，拋物线 C: y^{2}=2 p x(p>0) 的焦点为 F, C 的准线与 x 轴交于点 A ,过点 F 斜率为 ~\\\sqrt{3} 的直线与 C 交于点 M, N\left(M\right. 在 x 轴上方),求 \frac{|A M|}{|A N|}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案: 3;
提示:F\left(\frac{p}{2}, 0\right), A\left(-\frac{p}{2}, 0\right).直线 M N 倾斜角 \displaystyle\frac{\pi}{3},~~~\\|M F|=\displaystyle\frac{p}{1-\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}}=2 p, \Rightarrow
M\left(\frac{3}{2} p, \sqrt{3} p\right) \text {, 又 } x_{1} x_{2}=\displaystyle\frac{p^{2}}{4} \\\Rightarrow N\left(\frac{1}{6} p,-\frac{\sqrt{3}}{3} p\right) \Rightarrow \frac{|A M|}{|A N|}=3 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
