函数单调性、极值、最值

单调性、极(最)值、参数范围问题

极值、最值、零点

知识地图

1.设函数f(x)=kx^3-3x+1.若对任意x\in [-1,1],都有f(x)\ge 0,求实数k的范围.~~~~~~~~~
答案

答案:4;提示:kx^3-3x+1\ge 0,x\in[-1,1].对x\in[-1,0),x=0,x\in(0,1]讨论.~~~~~~~~~

2.已知函数f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2+2,x<0 \\
e^x,x\ge 0
\end{matrix}\right.,对\forall x\in R,f(x)\ge ax恒成立,求a的取值范围.~~~~~~~~~
答案

答案:-2\sqrt{2}\le a\le e;法一、数形结合;法二、分离a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.已知函数  f(x)=x(x+c)^{2} ,在x=2  时有极大值,求 f(x)  的极大值为.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:32;提示:c=-6或c=-2(舍).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


4.若函数  f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-a x+\ln x  在  (0,2)  上有极值, 求实数  a  的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:a>2;提示:由{f}'(x) =x-a+\frac{1}{x}=0,得a=x+\frac{1}{x},观察交点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

5.已知函数  f(x)=(x-1) \mathrm{e}^{x}+a x^{2}  的最小值为 -1 , 求实数  a  的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:a\ge0;提示:f(0)=-1,f(x)只能在x=0处取极小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

6.(1)求函数  f(x)=\sin x \cos x-2 \sin x+x在[0,\pi]上的零点个数;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)已知f(x)=x-\sqrt{2}\sin x,x\in[0,\pi],求f(x)的最大值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)2个,(2)\pi;提示:(1)f'(x)=2\cos x(\cos x-1),f'(x)=0,\Rightarrow x=0或x=\frac{\pi}{2},~~\\\Rightarrow x\in (0,\frac{\pi}{2}),f'(x)<0,x\in (\frac{\pi}{2},\pi),f'(x)>0,画图得两个零点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)f'(x)=1-\sqrt{2}\cos x,f'(x)=0,\Rightarrow x=\frac{\pi}{4},f(\frac{\pi}{4})为极小值,最大值为f(\pi)=\pi.~~~~~~~~~~


7. 已知函数  f(x)=a x^{2}+x+\frac{1-3 \ln x}{a}(a>0) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)若  x=1  是函数  f(x)  的极值点, 求  a  的值; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2) 若函数  f(x)  有两个零点, 求  a  的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)a=1;(2)(0,\frac{1}{e}).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.已知函数  f(x)=a x-\sin x, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] ,
若  f(x)  有两个极值点,记极大值和极小值~~
\\分别为  M, m  ,证明: M-m<2  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

提示:  f^{\prime}(x)=a-\cos x,-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}  ,当  0 < a <1  时,此时存在  x_{1} \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right),~~~~~~~~~~~~~
\\ x_{2} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)  ,
使得  f^{\prime}(x)=0  ,即 \boxed{ \cos x_{1}=\cos x_{2}=a } ,
可得  x_{1}, x_{2}  分别是函数的极大值点\\和极小值点,
即  M=f\left(x_{1}\right)=a x_{1}-\sin x_{1}, m=f\left(x_{2}\right)=a x_{2}-\sin x_{2}  ,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\  y=\cos x  的图象关于直线  y  轴对称,
所以  \boxed{x_{1}+x_{2}=0 } ,所以  x_{2}=-x_{1}  ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
所以  M-m=2 a x_{1}-2 \sin x_{1}  ,
而  \cos x_{1}=a  ,所以  \boxed{M-m=2 x_{1} \cos x_{1}-2 \sin x_{1}}  ,~~~~~~~~~\\
设  h\left(x_{1}\right)=M-m=2 x_{1} \cos x_{1}-2 \sin x_{1},-\frac{\pi}{2}< x_{1}< 0  ,
 h^{\prime}\left(x_{1}\right)=-2 x_{1} \sin x_{1}, ~~~~~~~~~~~~~~
\\h^{\prime}\left(x_{1}\right)< 0 ,
所以  h\left(x_{1}\right)< h\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2  ,因此有  M-m< 2  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2 评论

留下评论