观看人数： 395
极值、最值、零点
知识地图
1.设函数f(x)=kx^3-3x+1.若对任意x\in [-1,1],都有f(x)\ge 0,求实数k的范围.~~~~~~~~~
答案
答案：4;提示：kx^3-3x+1\ge 0,x\in[-1,1].对x\in[-1,0),x=0,x\in(0,1]讨论.~~~~~~~~~
2.已知函数f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2+2,x<0 \\
e^x,x\ge 0
\end{matrix}\right.,对\forall x\in R,f(x)\ge ax恒成立，求a的取值范围.~~~~~~~~~答案
答案：-2\sqrt{2}\le a\le e;法一、数形结合；法二、分离a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知函数 f(x)=x(x+c)^{2} ,在x=2 时有极大值，求 f(x) 的极大值为.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：32；提示：c=-6或c=-2(舍).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.若函数 f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-a x+\ln x 在 (0,2) 上有极值, 求实数 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a>2;提示：由{f}'(x) =x-a+\frac{1}{x}=0,得a=x+\frac{1}{x},观察交点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知函数 f(x)=(x-1) \mathrm{e}^{x}+a x^{2} 的最小值为 -1 , 求实数 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a\ge0;提示：f(0)=-1,f(x)只能在x=0处取极小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.(1)求函数 f(x)=\sin x \cos x-2 \sin x+x在[0,\pi]上的零点个数;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)已知f(x)=x-\sqrt{2}\sin x,x\in[0,\pi],求f(x)的最大值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)2个,(2)\pi;提示：(1)f'(x)=2\cos x(\cos x-1),f'(x)=0,\Rightarrow x=0或x=\frac{\pi}{2},~~\\\Rightarrow x\in (0,\frac{\pi}{2}),f'(x)<0,x\in (\frac{\pi}{2},\pi),f'(x)>0,画图得两个零点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)f'(x)=1-\sqrt{2}\cos x,f'(x)=0,\Rightarrow x=\frac{\pi}{4},f(\frac{\pi}{4})为极小值,最大值为f(\pi)=\pi.~~~~~~~~~~
7. 已知函数 f(x)=a x^{2}+x+\frac{1-3 \ln x}{a}(a>0) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)若 x=1 是函数 f(x) 的极值点, 求 a 的值; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2) 若函数 f(x) 有两个零点, 求 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)a=1;(2)(0,\frac{1}{e}).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8.已知函数 f(x)=a x-\sin x, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] ,
若 f(x) 有两个极值点,记极大值和极小值~~
\\分别为 M, m ,证明： M-m<2 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
提示: f^{\prime}(x)=a-\cos x,-\frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2} ,当 0 < a <1 时,此时存在 x_{1} \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right),~~~~~~~~~~~~~
\\ x_{2} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) ,
使得 f^{\prime}(x)=0 ,即 \boxed{ \cos x_{1}=\cos x_{2}=a } ,
可得 x_{1}, x_{2} 分别是函数的极大值点\\和极小值点,
即 M=f\left(x_{1}\right)=a x_{1}-\sin x_{1}, m=f\left(x_{2}\right)=a x_{2}-\sin x_{2} ,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ y=\cos x 的图象关于直线 y 轴对称,
所以 \boxed{x_{1}+x_{2}=0 } ,所以 x_{2}=-x_{1} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
所以 M-m=2 a x_{1}-2 \sin x_{1} ,
而 \cos x_{1}=a ,所以 \boxed{M-m=2 x_{1} \cos x_{1}-2 \sin x_{1}} ,~~~~~~~~~\\
设 h\left(x_{1}\right)=M-m=2 x_{1} \cos x_{1}-2 \sin x_{1},-\frac{\pi}{2}< x_{1}< 0 ,
h^{\prime}\left(x_{1}\right)=-2 x_{1} \sin x_{1}, ~~~~~~~~~~~~~~
\\h^{\prime}\left(x_{1}\right)< 0 ,
所以 h\left(x_{1}\right)< h\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2 ,因此有 M-m< 2 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.已知函数f(x)=e^{x}-(m + 1)x - n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1) 若f(x)在x = 0处取得极值0,求m,n的值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 若f(x)有两个零点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(ⅰ) 当n = 1时,曲线y = f(x)在点(t,0)(t\neq0)处的切线斜率为1,求t的值;~~~~~~~~~~~~~~~\\
(ⅱ) 证明：m + 1>e^{1-\frac{n}{m + 1}}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1) f^\prime(x)=e^{x}-(m + 1),
f^\prime(0)=1 - m - 1 = 0,\Rightarrow m = 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f(0)=e^{0}-n = 0\Rightarrow n = 1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) (ⅰ) f(x)=e^{x}-(m + 1)x - 1,f^\prime(x)=e^{x}-(m + 1),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f(t)=0\Rightarrow e^{t}-(m + 1)t - 1 = 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f^\prime(t)=1\Rightarrow e^{t}-(m + 1)=1,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
e^{t}-(e^{t}-1)t - 1 = 0\Rightarrow(1 - t)(e^{t}-1)=0,t = 1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(ⅱ) f^\prime(x)=e^{x}-(m + 1),x=\ln(m + 1)(函数极小值点)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f(\ln(m + 1))=(m + 1)-(m + 1)\ln(m + 1)-n<0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(m + 1)[1-\ln(m + 1)]-n<0,1-\ln(m + 1)<\frac{n}{m + 1},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\ln(m + 1)>1 - \frac{n}{m + 1},m + 1>e^{1-\frac{n}{m + 1}}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
好好好
真是美味啊