观看人数： 150
极值、最值、零点
1.设函数f(x)=kx^3-3x+1.若对任意x\in [-1,1],都有f(x)\ge 0,求实数k的范围.~~~~~~~~~
答案
答案：4;提示：kx^3-3x+1\ge 0,x\in[-1,1].对x\in[-1,0),x=0,x\in(0,1]讨论.~~~~~~~~~
2.已知函数f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2+2,x<0 \\
e^x,x\ge 0
\end{matrix}\right.,对\forall x\in R,f(x)\ge ax恒成立，求a的取值范围.~~~~~~~~~答案
答案：-2\sqrt{2}\le a\le e;法一、数形结合；法二、分离a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知函数 f(x)=x(x+c)^{2} ,在x=2 时有极大值，求 f(x) 的极大值为.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：32；提示：c=-6或c=-2(舍).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.若函数 f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-a x+\ln x 在 (0,2) 上有极值, 求实数 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a>2;提示：由{f}'(x) =x-a+\frac{1}{x}=0,得a=x+\frac{1}{x},观察交点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知函数 f(x)=(x-1) \mathrm{e}^{x}+a x^{2} 的最小值为 -1 , 求实数 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a\ge0;提示：f(0)=-1,f(x)只能在x=0处取极小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.(1)求函数 f(x)=\sin x \cos x-2 \sin x+x在[0,\pi]上的零点个数;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)已知f(x)=x-\sqrt{2}\sin x,x\in[0,\pi],求f(x)的最大值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)2个,(2)\pi;提示：(1)f'(x)=2\cos x(\cos x-1),f'(x)=0,\Rightarrow x=0或x=\frac{\pi}{2},~~\\\Rightarrow x\in (0,\frac{\pi}{2}),f'(x)<0,x\in (\frac{\pi}{2},\pi),f'(x)>0,画图得两个零点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)f'(x)=1-\sqrt{2}\cos x,f'(x)=0,\Rightarrow x=\frac{\pi}{4},f(\frac{\pi}{4})为极小值,最大值为f(\pi)=\pi.~~~~~~~~~~
7. 已知函数 f(x)=a x^{2}+x+\frac{1-3 \ln x}{a}(a>0) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)若 x=1 是函数 f(x) 的极值点, 求 a 的值; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2) 若函数 f(x) 有两个零点, 求 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)a=1;(2)(0,\frac{1}{e}).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
好好好
真是美味啊