观看人数： 229
根据单调性求参数范围
1.(1)若函数f(x)＝x^3＋ax^2+x在R上单调递增，求实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\~~~(2)若函数f(x)＝x^3＋ax^2+x在(0,+\infty)上单调递增，求实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:(1)[-\sqrt3,\sqrt3],(2)a\ge -\sqrt3;提示：(1)\triangle \le0;(2)分离a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2. 若函数 f(x)=\left(x^{2}-m x+2\right) \mathrm{e}^{x} 在 \left[-\frac{1}{2}, 1\right] 上存在单调递减区间, 求 m 的取值范围.~~~~~答案
答案：m>2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.设 a \in(0,1) , 若函数 f(x)=a^{x}+(1+a)^{x} 在 (0,+\infty) 上单调递增, 求 a 的取值范围.~~~~~~~~答案
答案：[\frac{\sqrt5-1}{2},1)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.若函数 f(x)=2 x^{2}-\ln x 在其定义域的一个子区间 (2 k-1,2 k+1) 内不单调, 求~~~~~~~~~~\\实数 k 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right) ;提示:f(x) 的定义域为 (0,+\infty) , 则 2 k-1 \geqslant 0 , 即 k \geqslant \frac{1}{2} ,f^{\prime}(x)=4 x-\frac{1}{x}\\=\frac{4 x^{2}-1}{x}=\frac{(2 x+1)(2 x-1)}{x},
因为 f(x) 在 (2 k-1,2 k+1) 内不单调, 所以 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 2 k-1< \frac{1}{2}<2 k+1 , 得 -\frac{1}{4 }< k < \frac{3}{4} ,综上, \frac{1}{2} \leqslant k<\frac{3}{4} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
讨论单调性
1.已知函数f(x)=ax-\ln x-1,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知函数f(x)=e^x(x^2+2ax+2a),a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知函数f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{a^2+1}{a}x+\ln x,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4.已知函数 f(x)=\frac{1}{2} a x^{2}-(a+1) x+\ln x, 试讨论函数 y=f(x) 的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)当a\le 0时， f(x) 在 (0,1)单调递增，在 (1,+\infty)单调递减；(2)当 0< a <1 时, \\函数 f(x) 在 (0,1) 和 \left(\frac{1}{a},+\infty\right) 上单调递增, 在 \left(1, \frac{1}{a}\right) 上单调递减;(3)当 a=1 时, 函数 ~~\\ f(x) 在 (0,+\infty) 上单调递增;(4)
当 a>1 时, 函数 f(x) 在 \left(0, \frac{1}{a}\right) 和 (1,+\infty) 上单调递增, ~~~\\在 \left(\frac{1}{a}, 1\right) 上单调递减.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示：函数 f(x) 的定义域为 (0,+\infty) ,f^{\prime}(x)=a x-(a+1)+\frac{1}{x}
=\frac{a x^{2}-(a+1) x+1}{x}~~~\\=\frac{(a x-1)(x-1)}{x} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+3x+1,a\in R.讨论f(x) 的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.已知函数f(x)=a\ln x-x^2+3x+3a,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.已知函数f(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x},x\in(0,\frac{\pi}{2}),a=8时，求f(x)的单调区间.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：f(x)在(0,\frac{\pi}{4})单增，在(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})单减；提示：f'(x)=\frac{(2\cos^2x-1)(4\cos^2x+3)}{\cos^4x},~\\x\in(0,\frac{\pi}{4}),f'(x)<0,x\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}),f'(x)>0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.已知 f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2 x-1}{x^{2}}, a \in \mathbf{R} .讨论 f(x) 的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
提示:f(x) 的定义域为 (0,+\infty), f^{\prime}(x)=a-\frac{a}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}=\boxed{\frac{\left(a x^{2}-2\right)(x-1)}{x^{3}} } .~~~~~~~~~~\\
(1)若 a \leqslant 0 ,当 x \in(0,1) 时, f^{\prime}(x)>0, f(x) 单调递增;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当 a=2 时, f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(x) 单调递增;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)当 0< a <2 时, \sqrt{\frac{2}{a}}>1 ,
当 x \in\left(1, \sqrt{\frac{2}{a}}\right)时, f^{\prime}(x) < 0, f(x) 单调递减;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(4)当 a>2 时, 0<\sqrt{\frac{2}{a}}<1 ,
f^{\prime}(x)>0, f(x) 在 \left(0, \sqrt{\frac{2}{a}}\right) 和 (1,+\infty) 上单调递增.~~~~~~~~~~~~~\\
★三次函数的图象可以穿根法模拟★~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
恒成立求参数范围
1.已知函数f(x)=e^{x}-ax - 1,若f(x)\leq x^{2}在[0, +\infty)上有解,求实数a的取值范围.~~~~~~~答案
答案:a\geq e - 2;提示 ：
因为f(x)=e^{x}-ax - 1\leq x^{2},所以ax\geq e^{x}-1 - x^{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\当x = 0时,
恒成立,所以a\in R.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当x>0时,\boxed{
a\geq\frac{e^{x}-1 - x^{2}}{x}},令g(x)=\frac{e^{x}-1 - x^{2}}{x},
g^{\prime}(x)=\frac{(x - 1)(e^{x}-x - 1)}{x^{2}}~~~~~~~~~~\\
因为e^{x}-x - 1\geq0（当且仅当x = 0时取等号）,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当x = 1时,g^{\prime}(x)=0,
当x > 1时,g^{\prime}(x) > 0,
当0 < x <1时,g^{\prime}(x) < 0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
所以g(x)_{\min}=g(1)=e - 2.
综上,a\geq e - 2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知函数f(x)=axe^x-(a + 1)(2x - 1),当a>-1,x>0时,函数f(x)\geq0恒成立,求\\实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:a的取值范围是[\frac{1}{e - 1},+\infty);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:
x > 0,原式转化为\boxed{\frac{a}{a + 1}\geq\frac{2x - 1}{xe^x}}对任意的x > 0恒成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
令F(x)=\frac{2x - 1}{xe^x}(x > 0),则F^\prime(x)=-\frac{(2x + 1)(x - 1)}{x^2e^x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当0 < x < 1时,F^\prime(x)>0;当x > 1时,F^\prime(x)<0,
所以函数F(x)在(0,1)上单调递增,~~~~~~\\
在(1,+\infty)上单调递减,
所以F(x)_{\max}=F(1)=\frac{1}{e}.于是\frac{a}{a + 1}\geq\frac{1}{e},
解得a\geq\frac{1}{e - 1}.~~~~~~~~~
3.已知函数f(x)=axe^x - x^2 - 2x + 1(其中a\in\mathbf{R},e为自然对数的底数),
若x\geq1时~~~~~~~\\f(x)\geq0恒成立,求a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:a的取值范围为a\geq\frac{2}{e};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:函数求导,f^{\prime}(x)=(x+1)\left(a e^{x}-2\right)=0,，其中 x \geqslant 1 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)当 a \leqslant 0 时,
f^{\prime}(x)=(x+1)\left(a e^{x}-2\right)<0,
f(x) 在 [1,+\infty) 上为减函数,显然不成立;~~~~\\
(2)当 a>0 时，由 f^{\prime}(x)=0 得 x=\ln \frac{2}{a},~~~~
★下面讨论\ln \frac{2}{a}是否在[1,+\infty) 上★~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当 x=\ln \frac{2}{a} \leqslant 1 ，即 a \geqslant \frac{2}{e} 时， f(x) 在 [1,+\infty) 上为增函数,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore f(x)_{\min }=f(1)=a e-2 \geqslant 0 ,解得 a \geqslant \frac{2}{e}
,故 a \geqslant \frac{2}{e} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当 x=\ln \frac{2}{a} > 1 ，即 0 < a<\frac{2}{e} 时， f(x) 在 \left[1, \ln \frac{2}{a}\right) 减,在 \left(\ln \frac{2}{a},+\infty\right) 上
增,~~~~~~~~\\
f(x)_{\min}=f\left(\ln\frac{2}{a}\right)
,
\Rightarrow \left(\ln\frac{2}{a}\right)^2\leq1,解得\frac{2}{e}\leq a\leq2e,不成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
综上，所求a的取值范围为a\geq\frac{2}{e}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知函数 f(x)=(x-2) \mathrm{e}^{x}-\frac{1}{2} a x^{2}+a x(a \in \mathbf{R}) ,当 x \geqslant 2 时, f(x) \geqslant 0 恒成立,求 a 的取\\值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:a \le e^2;提示:两种方法，端点效应和分离参量~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
解 法一 、端点效应~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f^{\prime}(x)=(x-1)\left(\mathrm{e}^{x}-a\right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)当 a \leqslant 0 时,\because x \geqslant 2 ,\therefore f^{\prime}(x)>0 ,则 f(x) 单增, f(x) \geqslant f(2)=0 成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当 0 < a \leqslant \mathrm{e}^{2} 时,因为 x \geqslant 2, f'(x) \geqslant 0 ,\therefore f(x) 增,\therefore f(x) \geqslant f(2)=0 成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)当 a>\mathrm{e}^{2} 时,当 x \in(2, \ln a) 时, f'(x)<0,
\therefore f(x) 在 (2, \ln a) 上单减, f(x) \geqslant 0 不恒成立,\\不符合题意.
综上, a 的取值范围是 \left(-\infty, \mathrm{e}^{2}\right] .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
法二 、分离参量~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)当 x=2 时,恒成立,\therefore a \in \mathbf{R} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当 x>2 时, \frac{1}{2} x^{2}-x>0 ,\therefore a \leqslant \frac{(x-2) \mathrm{e}^{x}}{\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}-x}=\frac{2 \mathrm{e}^{x}}{x} 恒成立.
设 g(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{x}}{x} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
则 g^{\prime}(x)=\frac{2(x-1) \mathrm{e}^{x}}{x^{2}} ,
\because x>2 ,\therefore g^{\prime}(x)>0 ,
\therefore g(x) 在 (2,+\infty) 上单调递增,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore g(x)>g(2)=\mathrm{e}^{2} ,\therefore a \leqslant \mathrm{e}^{2} .
综上, a 的取值范围是 \left(-\infty, \mathrm{e}^{2}\right] .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
