导数与单调性

导数为一次或二次可分解型

根据单调性求参数范围

1.(1)若函数f(x)=x^3+ax^2+x在R上单调递增,求实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\~~~(2)若函数f(x)=x^3+ax^2+x在(0,+\infty)上单调递增,求实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)[-\sqrt3,\sqrt3],(2)a\ge -\sqrt3;提示:(1)\triangle \le0;(2)分离a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2. 若函数  f(x)=\left(x^{2}-m x+2\right) \mathrm{e}^{x}  在  \left[-\frac{1}{2}, 1\right]  上存在单调递减区间, 求  m  的取值范围.~~~~~
答案

答案:m>2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.设  a \in(0,1) , 若函数  f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}  在  (0,+\infty)  上单调递增, 求  a  的取值范围.~~~~~~~~
答案

答案:[\frac{\sqrt5-1}{2},1)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

4.若函数  f(x)=2 x^{2}-\ln x  在其定义域的一个子区间  (2 k-1,2 k+1)  内不单调, 求~~~~~~~~~~\\实数  k  的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:  \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)  ;提示:f(x)  的定义域为  (0,+\infty) , 则  2 k-1 \geqslant 0 , 即  k \geqslant \frac{1}{2} ,f^{\prime}(x)=4 x-\frac{1}{x}\\=\frac{4 x^{2}-1}{x}=\frac{(2 x+1)(2 x-1)}{x},


因为  f(x)  在  (2 k-1,2 k+1)  内不单调, 所以 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 2 k-1< \frac{1}{2}<2 k+1 , 得  -\frac{1}{4 }< k < \frac{3}{4} ,综上,  \frac{1}{2} \leqslant k<\frac{3}{4} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

讨论单调性

1.已知函数f(x)=ax-\ln x-1,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知函数f(x)=e^x(x^2+2ax+2a),a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知函数f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{a^2+1}{a}x+\ln x,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知函数  f(x)=\frac{1}{2} a x^{2}-(a+1) x+\ln x,  试讨论函数  y=f(x)  的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)当a\le 0时, f(x)  在  (0,1)单调递增,在 (1,+\infty)单调递减;(2)当  0< a <1  时, \\函数  f(x)  在  (0,1)  和  \left(\frac{1}{a},+\infty\right)  上单调递增, 在  \left(1, \frac{1}{a}\right)  上单调递减;(3)当  a=1  时, 函数 ~~\\ f(x)  在  (0,+\infty)  上单调递增;(4)

当  a>1  时, 函数  f(x)  在  \left(0, \frac{1}{a}\right) 和  (1,+\infty)  上单调递增, ~~~\\在  \left(\frac{1}{a}, 1\right)  上单调递减.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:函数  f(x)  的定义域为  (0,+\infty) ,f^{\prime}(x)=a x-(a+1)+\frac{1}{x} 
=\frac{a x^{2}-(a+1) x+1}{x}~~~\\=\frac{(a x-1)(x-1)}{x} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+3x+1,a\in R.讨论f(x) 的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.已知函数f(x)=a\ln x-x^2+3x+3a,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

7.已知函数f(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x},x\in(0,\frac{\pi}{2}),a=8时,求f(x)的单调区间.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:f(x)在(0,\frac{\pi}{4})单增,在(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})单减;提示:f'(x)=\frac{(2\cos^2x-1)(4\cos^2x+3)}{\cos^4x},~\\x\in(0,\frac{\pi}{4}),f'(x)<0,x\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}),f'(x)>0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~