导数与单调性

导数为一次或二次可分解型

根据单调性求参数范围

1.(1)若函数f(x)=x^3+ax^2+x在R上单调递增,求实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\~~~(2)若函数f(x)=x^3+ax^2+x在(0,+\infty)上单调递增,求实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)[-\sqrt3,\sqrt3],(2)a\ge -\sqrt3;提示:(1)\triangle \le0;(2)分离a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2. 若函数  f(x)=\left(x^{2}-m x+2\right) \mathrm{e}^{x}  在  \left[-\frac{1}{2}, 1\right]  上存在单调递减区间, 求  m  的取值范围.~~~~~
答案

答案:m>2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.设  a \in(0,1) , 若函数  f(x)=a^{x}+(1+a)^{x}  在  (0,+\infty)  上单调递增, 求  a  的取值范围.~~~~~~~~
答案

答案:[\frac{\sqrt5-1}{2},1)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

4.若函数  f(x)=2 x^{2}-\ln x  在其定义域的一个子区间  (2 k-1,2 k+1)  内不单调, 求~~~~~~~~~~\\实数  k  的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:  \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)  ;提示:f(x)  的定义域为  (0,+\infty) , 则  2 k-1 \geqslant 0 , 即  k \geqslant \frac{1}{2} ,f^{\prime}(x)=4 x-\frac{1}{x}\\=\frac{4 x^{2}-1}{x}=\frac{(2 x+1)(2 x-1)}{x},


因为  f(x)  在  (2 k-1,2 k+1)  内不单调, 所以 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 2 k-1< \frac{1}{2}<2 k+1 , 得  -\frac{1}{4 }< k < \frac{3}{4} ,综上,  \frac{1}{2} \leqslant k<\frac{3}{4} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

讨论单调性

1.已知函数f(x)=ax-\ln x-1,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知函数f(x)=e^x(x^2+2ax+2a),a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知函数f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{a^2+1}{a}x+\ln x,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知函数  f(x)=\frac{1}{2} a x^{2}-(a+1) x+\ln x,  试讨论函数  y=f(x)  的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)当a\le 0时, f(x)  在  (0,1)单调递增,在 (1,+\infty)单调递减;(2)当  0< a <1  时, \\函数  f(x)  在  (0,1)  和  \left(\frac{1}{a},+\infty\right)  上单调递增, 在  \left(1, \frac{1}{a}\right)  上单调递减;(3)当  a=1  时, 函数 ~~\\ f(x)  在  (0,+\infty)  上单调递增;(4)

当  a>1  时, 函数  f(x)  在  \left(0, \frac{1}{a}\right) 和  (1,+\infty)  上单调递增, ~~~\\在  \left(\frac{1}{a}, 1\right)  上单调递减.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:函数  f(x)  的定义域为  (0,+\infty) ,f^{\prime}(x)=a x-(a+1)+\frac{1}{x} 
=\frac{a x^{2}-(a+1) x+1}{x}~~~\\=\frac{(a x-1)(x-1)}{x} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知函数f(x)=x^3-ax^2+3x+1,a\in R.讨论f(x) 的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.已知函数f(x)=a\ln x-x^2+3x+3a,a\in R.讨论f(x)的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.已知函数f(x)=ax-\frac{\sin x}{\cos^3x},x\in(0,\frac{\pi}{2}),a=8时,求f(x)的单调区间.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:f(x)在(0,\frac{\pi}{4})单增,在(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})单减;提示:f'(x)=\frac{(2\cos^2x-1)(4\cos^2x+3)}{\cos^4x},~\\x\in(0,\frac{\pi}{4}),f'(x)<0,x\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}),f'(x)>0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

8.已知  f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2 x-1}{x^{2}}, a \in \mathbf{R}  .讨论  f(x)  的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

 提示:f(x)  的定义域为  (0,+\infty), f^{\prime}(x)=a-\frac{a}{x}-\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}=\boxed{\frac{\left(a x^{2}-2\right)(x-1)}{x^{3}} } .~~~~~~~~~~\\
(1)若  a \leqslant 0  ,当  x \in(0,1)  时, f^{\prime}(x)>0, f(x)  单调递增;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当  a=2  时,  f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(x)  单调递增;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)当  0< a <2  时, \sqrt{\frac{2}{a}}>1  ,
当  x \in\left(1, \sqrt{\frac{2}{a}}\right)时, f^{\prime}(x) < 0, f(x)  单调递减;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(4)当  a>2  时,  0<\sqrt{\frac{2}{a}}<1  ,
 f^{\prime}(x)>0, f(x)  在  \left(0, \sqrt{\frac{2}{a}}\right)  和  (1,+\infty)  上单调递增.~~~~~~~~~~~~~\\
★三次函数的图象可以穿根法模拟★~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

恒成立求参数范围

1.已知函数f(x)=e^{x}-ax - 1,若f(x)\leq x^{2}在[0, +\infty)上有解,求实数a的取值范围.~~~~~~~
答案

答案:a\geq e - 2;提示  :
因为f(x)=e^{x}-ax - 1\leq x^{2},所以ax\geq e^{x}-1 - x^{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~
 
\\当x = 0时,
恒成立,所以a\in R.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当x>0时,\boxed{
a\geq\frac{e^{x}-1 - x^{2}}{x}},令g(x)=\frac{e^{x}-1 - x^{2}}{x},

g^{\prime}(x)=\frac{(x - 1)(e^{x}-x - 1)}{x^{2}}~~~~~~~~~~\\
因为e^{x}-x - 1\geq0(当且仅当x = 0时取等号),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当x = 1时,g^{\prime}(x)=0,
当x > 1时,g^{\prime}(x) > 0,
当0 < x <1时,g^{\prime}(x) < 0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
所以g(x)_{\min}=g(1)=e - 2.
 
综上,a\geq e - 2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2.已知函数f(x)=axe^x-(a + 1)(2x - 1),当a>-1,x>0时,函数f(x)\geq0恒成立,求\\实数a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:a的取值范围是[\frac{1}{e - 1},+\infty);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:
x > 0,原式转化为\boxed{\frac{a}{a + 1}\geq\frac{2x - 1}{xe^x}}对任意的x > 0恒成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
令F(x)=\frac{2x - 1}{xe^x}(x > 0),则F^\prime(x)=-\frac{(2x + 1)(x - 1)}{x^2e^x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当0 < x < 1时,F^\prime(x)>0;当x > 1时,F^\prime(x)<0,
所以函数F(x)在(0,1)上单调递增,~~~~~~\\
在(1,+\infty)上单调递减,
所以F(x)_{\max}=F(1)=\frac{1}{e}.于是\frac{a}{a + 1}\geq\frac{1}{e},
解得a\geq\frac{1}{e - 1}.~~~~~~~~~

3.已知函数f(x)=axe^x - x^2 - 2x + 1(其中a\in\mathbf{R},e为自然对数的底数),
若x\geq1时~~~~~~~\\f(x)\geq0恒成立,求a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:a的取值范围为a\geq\frac{2}{e};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\

提示:函数求导,f^{\prime}(x)=(x+1)\left(a e^{x}-2\right)=0,,其中  x \geqslant 1  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)当  a \leqslant 0  时,

f^{\prime}(x)=(x+1)\left(a e^{x}-2\right)<0,
 f(x)  在  [1,+\infty)  上为减函数,显然不成立;~~~~\\
(2)当  a>0  时,由  f^{\prime}(x)=0  得  x=\ln \frac{2}{a},~~~~
★下面讨论\ln \frac{2}{a}是否在[1,+\infty) 上★~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当  x=\ln \frac{2}{a} \leqslant 1  ,即  a \geqslant \frac{2}{e}  时, f(x)  在  [1,+\infty)  上为增函数,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
 \therefore f(x)_{\min }=f(1)=a e-2 \geqslant 0 ,解得  a \geqslant \frac{2}{e} 
,故  a \geqslant \frac{2}{e}  ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当  x=\ln \frac{2}{a} > 1  ,即  0 < a<\frac{2}{e}  时, f(x)  在  \left[1, \ln \frac{2}{a}\right)  减,在  \left(\ln \frac{2}{a},+\infty\right)  上
增,~~~~~~~~\\
f(x)_{\min}=f\left(\ln\frac{2}{a}\right)
,
\Rightarrow \left(\ln\frac{2}{a}\right)^2\leq1,解得\frac{2}{e}\leq a\leq2e,不成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
综上,所求a的取值范围为a\geq\frac{2}{e}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

4.已知函数  f(x)=(x-2) \mathrm{e}^{x}-\frac{1}{2} a x^{2}+a x(a \in \mathbf{R})  ,当  x \geqslant 2  时, f(x) \geqslant 0  恒成立,求  a  的取\\值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:a \le e^2;提示:两种方法,端点效应和分离参量~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\

解 法一 、端点效应~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\

f^{\prime}(x)=(x-1)\left(\mathrm{e}^{x}-a\right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\

(1)当  a \leqslant 0  时,\because   x \geqslant 2  ,\therefore   f^{\prime}(x)>0  ,则  f(x)  单增, f(x) \geqslant f(2)=0  成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当  0 < a \leqslant \mathrm{e}^{2}  时,因为  x \geqslant 2, f'(x) \geqslant 0  ,\therefore   f(x)  增,\therefore   f(x) \geqslant f(2)=0  成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)当  a>\mathrm{e}^{2}  时,当  x \in(2, \ln a)  时, f'(x)<0,
\therefore   f(x)  在  (2, \ln a)  上单减, f(x) \geqslant 0  不恒成立,\\不符合题意.
综上, a  的取值范围是  \left(-\infty, \mathrm{e}^{2}\right]  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
法二 、分离参量~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)当  x=2  时,恒成立,\therefore   a \in \mathbf{R}  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当  x>2  时, \frac{1}{2} x^{2}-x>0  ,\therefore   a \leqslant \frac{(x-2) \mathrm{e}^{x}}{\displaystyle\frac{1}{2} x^{2}-x}=\frac{2 \mathrm{e}^{x}}{x}  恒成立.
设  g(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{x}}{x}  ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
则  g^{\prime}(x)=\frac{2(x-1) \mathrm{e}^{x}}{x^{2}}  ,
\because   x>2  ,\therefore   g^{\prime}(x)>0  ,
\therefore   g(x)  在  (2,+\infty)  上单调递增,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore   g(x)>g(2)=\mathrm{e}^{2}  ,\therefore   a \leqslant \mathrm{e}^{2}  .
综上, a  的取值范围是  \left(-\infty, \mathrm{e}^{2}\right]  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

留下评论