观看人数： 312
知识地图
零点个数
1.函数 f(x) 是 \mathbf{R} 上最小正周期为 2 的周期函数, 当 0 \leqslant x<2 时, f(x)=x^{2}-x , 求函数~~~~~\\ y=f(x) 的图象在区间 [-3,3] 上的零点个数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案：7；提示：画图，注意端点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2.(1)（多选）已知函数 f(x)=x|x-a|-2 有三个不同的零点，则 a 的取值可以为 (~~~~)
\\
A. 0~~~~
B. 2 \sqrt{2} ~~~~
C. 3~~~~
D. 4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案：CD；提示：将 f(x)=x|x-a|-2=0转化为|x-a|=\frac{2}{x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2)已知函数f(x)=x|x-a|-2a^2,若当x>2时，f(x)>0,则a的范围是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.(-\infty ,1]\quad B.[-2,1]\quad C.[-1,2]\quad D.[-1,+\infty )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案:B;提示:f(x)=x|x-a|-2a^2>0,\Rightarrow|x-a|>\frac{2a^2}{x},数形结合.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 3.已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln x-\displaystyle\frac{1}{x}, x>0, \\ x^{2}+2 x, x \leqslant 0,\end{array}\right. 则函数 y=f[f(x)+1] 的零点个数是 (~~)~~~~~~~~~~~~~~ \\
A. 2~~
B. 3~~
C. 4~~
D. 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：D；提示：此题为嵌套函数零点问题，通过画图可知f(t)=0有三个根，~~~~~~~~~~~\\t_1=-2,t_2=0,t_3\in (1,2),继续求t=f(x)+1的零点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 4. 已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{1}{2^{x}}+1(x>0) \\ 2 x^{2}+4 x+2(x \leq 0)\end{array}\right. , 若函数 g(x)=f(f(x)-m)-2 , 当 g(x) ~~~~\\恰有 3 个零点时, 求 m 的取值范围 . \qquad ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案：(1,3]\cup \left \{ 4 \right \} ；提示：令t=f(x)-m,~~~\\f(t)=2\Rightarrow t_1=-2,t_2=0.\therefore f(x)=m-2\\和f(x)=m共有3个解，由图可知，~~~~~~~~~~~~~\\m\in(1,3]\cup \left \{ 4 \right \} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 5.函数 f(x)=(m x-1) \mathrm{e}^{x}+m x+1 有三个不同的零点, 求实数 m 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 答案
答案: (0,\frac{1}{2});~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:分离得 m x=\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1},令\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1}=g(x), 则g(x) 为\\奇函数, g(x) 在 (0,+\infty) 单增, g(x)在x=0处的切线斜率\\为 g^{\prime}(0)=\frac{1}{2} ,
结合g(x) 的图象可知 0 < m<\frac{1}{2} .~~~~~~~~~~~~~~ 6.已知x\in [-2\pi,2\pi],函数f(x)=\sin x-|e^x-1|的零点个数是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.0\quad B.1\quad C.2\quad D.3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案:A;提示:转化为y=\sin x与y=|e^x-1|的图象交点个数，注意y=x是公切线.~~ 零点的运算
1.定义在 \mathbf{R} 上的函数 f(x) 满足 f(-x)+f(x)=0, f(-x)=f(x+2) , 且当 x \in[0,1] 时, ~~~~\\f(x)=x^{3}-x^{2}+x , 则方程 4 f(x)-x+2=0 所有的根之和为 (\quad) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. 6~~
B. 12~~
C. 14~~
D. 10~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案：D；提示：f(x)为奇函数，对称中心(1,0),\Rightarrow (2,0)也是对称中心。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\4 f(x)-x+2=0 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{4}(x-2),两边都关于(2,0)对称，交点共5个，和为10.~~~~~ 2. 已知函数 f(x)=\sin \pi x+\frac{1}{x-1} , 则 y=f(x) 的图象在 (-2,4) 内的零点之和为 (\quad) ~~~~~~~\\
A. 2~~
B. 4~~
C. 6~~
D. 8~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：B；提示：f(x)=\sin \pi x+\frac{1}{x-1}=0,\Rightarrow \sin \pi x=-\frac{1}{x-1},两边函数都有对称~\\中心(1,0)，交点共4个.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 零点的应用
1.设函数 f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)(x+b) .若 f(x) \geq 0恒成立 ,则 a b 的最小值为(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. -\frac{1}{e} \quad
B. \frac{1}{e} \quad
C.e\quad
D. -\frac{2}{e^{2}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案：A;提示:y_1=e^x+a与y_2=x+b单增且正负同号,所以两函数零点相同,所以~~~\\\ln(-a)=-b,ab=-a\ln(-a)(a<0),当a=-\frac{1}{e}时,ab最小为-\frac{1}{e}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2.已知函数 f(x)=x-\sin (x-1)-1 ,若不等式 f(x)(a x+b-1) \geq 0(a \in R, b \in R) 对\\任意 x \in R 恒成立,则 a b 的最大值是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. 1\quad
B. \frac{1}{4} \quad
C. \frac{1}{8} \quad
D. \frac{1}{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案:B;提示: f(x)与g(x)=a x+b-1正负同号,f(x)单增且f(x)=0时,x=1,\therefore~~~~~\\a>0,g(1)=0,得a+b=1,\therefore ab\le\frac{1}{4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 3.已知线 y=\mathrm{e}^{x-1} 与曲线 y=a \ln x+a(a>0) 只有一个公共点，则 a= (\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \frac{1}{e} \quad
B.1\quad
C. e\quad
D. e^{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 答案
答案:B;提示:e^{x - 1}=a\ln x + a，1+\ln x = 0\text{ 时不成立}，\Rightarrow a=\frac{e^{x - 1}}{1+\ln x}=g(x),~~~~~\\g'(x)=\frac{e^{x - 1}(1+\ln x-\frac{1}{x})}{(1+\ln x)^2}，\text{函数 }m(x)=1+\ln x-\frac{1}{x}\text{ 单增且 }m(1)=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore g(x)\text{ 的极小值为 }g(1)=1，\therefore a = 1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
