观看人数： 186
零点个数
1.函数 f(x) 是 \mathbf{R} 上最小正周期为 2 的周期函数, 当 0 \leqslant x<2 时, f(x)=x^{2}-x , 求函数~~~~~\\ y=f(x) 的图象在区间 [-3,3] 上的零点个数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：7；提示：画图，注意端点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.（多选）已知函数 f(x)=x|x-a|-2 有三个不同的零点，则实数 a 的取值可以为 (~~)
\\
A. 0~~
B. 2 \sqrt{2} ~~
C. 3~~
D. 4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：CD；提示：将 f(x)=x|x-a|-2=0转化为|x-a|=\frac{2}{x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln x-\displaystyle\frac{1}{x}, x>0, \\ x^{2}+2 x, x \leqslant 0,\end{array}\right. 则函数 y=f[f(x)+1] 的零点个数是 (~~)~~~~~~~~~~~~~~ \\
A. 2~~
B. 3~~
C. 4~~
D. 5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：D；提示：此题为嵌套函数零点问题，通过画图可知f(t)=0有三个根，~~~~~~~~~~~\\t_1=-2,t_2=0,t_3\in (1,2),继续求t=f(x)+1的零点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4. 已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{1}{2^{x}}+1(x>0) \\ 2 x^{2}+4 x+2(x \leq 0)\end{array}\right. , 若函数 g(x)=f(f(x)-m)-2 , 当 g(x) ~~~~\\恰有 3 个零点时, 求 m 的取值范围 . \qquad ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1,3]\cup \left \{ 4 \right \} ；提示：令t=f(x)-m,~~~\\f(t)=2\Rightarrow t_1=-2,t_2=0.\therefore f(x)=m-2\\和f(x)=m共有3个解，由图可知，~~~~~~~~~~~~~\\m\in(1,3]\cup \left \{ 4 \right \} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.函数 f(x)=(m x-1) \mathrm{e}^{x}+m x+1 有三个不同的零点, 求实数 m 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~\\答案
答案: (0,\frac{1}{2});~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:分离得 m x=\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1},令\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1}=g(x), 则g(x) 为\\奇函数, g(x) 在 (0,+\infty) 单增, g(x)在x=0处的切线斜率\\为 g^{\prime}(0)=\frac{1}{2} ,
结合g(x) 的图象可知 0 < m<\frac{1}{2} .~~~~~~~~~~~~~~
零点的运算
1.定义在 \mathbf{R} 上的函数 f(x) 满足 f(-x)+f(x)=0, f(-x)=f(x+2) , 且当 x \in[0,1] 时, ~~~~\\f(x)=x^{3}-x^{2}+x , 则方程 4 f(x)-x+2=0 所有的根之和为 (\quad) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. 6~~
B. 12~~
C. 14~~
D. 10~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：D；提示：f(x)为奇函数，对称中心(1,0),\Rightarrow (2,0)也是对称中心。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\4 f(x)-x+2=0 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{4}(x-2),两边都关于(2,0)对称，交点共5个，和为10.~~~~~
2. 已知函数 f(x)=\sin \pi x+\frac{1}{x-1} , 则 y=f(x) 的图象在 (-2,4) 内的零点之和为 (\quad) ~~~~~~~\\
A. 2~~
B. 4~~
C. 6~~
D. 8~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：B；提示：f(x)=\sin \pi x+\frac{1}{x-1}=0,\Rightarrow \sin \pi x=-\frac{1}{x-1},两边函数都有对称~\\中心(1,0)，交点共4个.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
