2. (1)如图所示五面体, 其中四边形 A B C D 是边长为 2 的正方形, 且 \triangle A D E, \triangle B C F 均为正\\三角形, E F / / C D, E F=4 , 求该几何体的体积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2)在正四棱台 A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}-A B C D 中, A A_{1} // 平面 C_{1} B D, A B=2 A A_{1}=4 , 求正四棱台\\ A_{1} B_{1} C_{l} D_{1}-A B C D 的体积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3. 如图, 在平面五边形 A B C D E 中, A B=D E=1, B C=C D=2, A E=\sqrt{2}, \angle A B C =~\\\angle B C D=\angle C D E=90^{\circ} ,求五边形 A B C D E 绕直线 A B 旋转一周所成的几何体的体积 .~~
4. 如图, 四边形 A B C D 为矩形, P A \perp 平面 A B C D, P A / / B E, P A=B C=2 B E=2 A B \\ =2 , 分别求三棱锥 E-P B C, E-P A C, P-C D E 的体积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:V_{E-P B C}=V_{C-P B E}=\frac{1}{3} ;~~~~~~~~~~\\
V_{E-P A C}=V_{C-PEA}=\frac{2}{3};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
V_{P-CDE}=V_{P-DFE}=V_{D-PFE}=\frac{1}{3} ;~~~
5. 如图, 在三棱锥 P-A B C 中, A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}, A C , ~~~~\\B C 的中点分别为 F, O , 若 \angle P O F=120^{\circ} , 求三棱锥 P-A B C 的体积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
法一、易知 F O \perp B C, P O \perp B C, \angle P O F 是二面角~~~~~~~~~~~~~ \\ P-B C-A 的平面角,\angle P O F =120^\circ,过点 P 作 P M \perp ~~~~~~~~\\平面 A B C 于点 M , 则 M 在 F O 的延长线上,
\therefore \angle P O M=60^{\circ}, \\ \Rightarrow P M=\sqrt{3} .
\therefore
V_{P-A B C}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C} \cdot P M=\frac{2 \sqrt{6}}{3} .~~~~~~~~~~~~~\\
法二、 \because F O \perp B C, P O \perp B C ,
V_{C-P O F}=\frac{1}{3} S_{\triangle P O F} \cdot O C~~\\
=\frac{\sqrt{6}}{6} ,
又 \because V_{C-P O F}=V_{P-C O F}=\frac{1}{4} V_{P-A B C} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore V_{P-A B C}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考辅助线
6. 如图, 在四棱雉 P-A B C D 中, 四边形 A B C D 是边长为 2 的正方形, \triangle P B C 为正三角形， \\ M, N 分别为 P D, B C 的中点， P N \perp A B ,求三棱锥 P-A M N 的体积;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
提示:V_{P-A M N}=V_{A-P I N}=\frac{1}{2} V_{A-P D N}=\frac{1}{2} V_{P-A D N}=\\\frac{1}{4} V_{P-A B C D}=\frac{\sqrt{3}}{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.四棱锥 P-A B C D 的顶点都在球 O 的表面上, \triangle P A D 是等边三角形, 底面 A B C D 是~~~~\\矩形, 平面 P A D \perp 平面 A B C D , 若 A B=2, B C=3 , 求球 O 的表面积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:16\pi;提示:补成三棱柱如下图.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.如图所示, 在三棱锥 S-A B C 中, \triangle A B C 与 \triangle S B C 都是边长为 1 的正三角形,二面角~~~~ \\ S-B C-A 的大小为 \frac{2 \pi}{3} , 若 S, A, B, C 四点都在球 O 的表面上, 求球 O 的表面积.~~~~~~~~~~~~~
答案
答案: \frac{7 \pi}{3};提示: 如图，
\angle S D A=\frac{2 \pi}{3} ,
点 E, F , 为 \triangle S B C ~~~\\和 \triangle A B C 的重心,
过点 E, F 分别作两面的垂线, 其交点即球\\心 O , 连接 O A, \Rightarrow R=O A ,
由题意知 B D=\frac{1}{2}, A D=\frac{\sqrt{3}}{2}, ~\\D E=\frac{1}{3} A D=\frac{\sqrt{3}}{6}, A E=\frac{2}{3} A D=\frac{\sqrt{3}}{3} ,
连接 O D , 在~~~~~~~~~~\\ Rt \triangle O D E 中, \angle O D E=\frac{\pi}{3}, O E=\sqrt{3} D E=\frac{1}{2} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore O A^{2}=O E^{2}+A E^{2}=\frac{7}{12}, \therefore 表面积为 S=4 \pi R^{2}=\frac{7 \pi}{3} .~
参考辅助线
变式1.将上题中的二面角 S-B C-A 的大小为 \displaystyle\frac{\pi}{2} , 其它条件不变，求球 O 的表面积.~~~~~~
变式2. 在三棱锥 S-A B C 中, SC\perp SB,AC \perp AB,SC=AB=4,SB=AC=3,求三\\棱锥 S-A B C 外接球的表面积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式3.在三棱锥 P-A B C 中, 平面 P A C \perp 平面 A B C, P A=P C=A B=2 \sqrt{3}, A C=4 , \\\angle B A C=30^{\circ} , 求该三棱锥外接球的体积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案: 9 \sqrt{2} \pi ;提示:
球心为 O 在平面 P A C 的中线上, 连接 O A ,~\\ 则 O A=O P=R, P O_{1}=2 \sqrt{2} .在 Rt \triangle O O_{1} A 中, 即 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ R^{2}=(2 \sqrt{2}-R)^{2}+4 , 则 R=\frac{3 \sqrt{2}}{2} . V=\frac{4}{3} \pi R^{3}=9 \sqrt{2} \pi .~~~~~~~~~
答案
4.已知在四面体 V-A B C 中, V A=V B=V C=\sqrt{3}, A B=\sqrt{2}, \angle A C B=\frac{\pi}{4} , 求该四面\\体外接球的表面积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:\frac{9 \pi}{2} ;提示: V A=V B=V C=\sqrt{3} \therefore V 由正弦定理\\得:
三角形 A B C 的外接圆的半径r=\frac{\sqrt{2}}{2 \displaystyle \sin \frac{\pi}{4}}=1 ;
设四面\\体外接球的半径为 R,(\sqrt{2}-R)^{2}=R^{2}-1 . 解得: ~~~~~~~~~~~~~~\\ R=\frac{3 \sqrt{2}}{4} ,
所以V=\frac{9 \pi}{2} ~.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.如图, 在正四棱台 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 中, A B=4, A_{1} B_{1}=2 , 若半径为 r 的球 O 与该~~~\\正四棱台的各个面均相切，求该球的表面积 S.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案:\frac{\sqrt{2}}{3} \pi ;提示: P D=2 \sqrt{2}, \triangle P E O \backsim \triangle P D B , 故 \frac{P O}{P B}=\frac{O E}{D B} , ~\\即 \frac{2 \sqrt{2}-r}{3}=\frac{r}{1} , 解得 r=\frac{\sqrt{2}}{2} ,
V=\frac{\sqrt{2}}{3} \pi.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
平行与垂直
1.如图所示, 在四棱雉 P-A B C D 中, 四边形 A B C D 是平行四边形, M 是 P C 的中点, 在 ~~~\\ D M 上取一点 G , 过 G 和 P A 作平面交 B D 于点 H . 求证: P A / / G H .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
答案
先证: P A / / 平面 B M D ,\\再利用线面平行的性质\\定理证明P A / / G H .~~~~~~
参考辅助线
2.
如图, 在长方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 中, A D=1, A B=\sqrt{3}, E, F, G 分别为 A B, ~~~~~~~~~~~\\B C, C_{1} D_{1} 的中点, 点 P 在平面 A B C D 内, 若直线 D_{1} P / / 平面 E F G , 求点 P 的轨迹的长度.~
答案
答案:2;提示:点P的轨\\迹为线段AC,|AC|=2.
参考辅助线
3. 如图所示, 已知四边形 A B C D 是正方形, 四边形 A C E F 是矩形, M 是线段 E F 的中点.~~~~\\
(1)求证: A M / / 平面 B D E ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若平面 A D M \cap 平面 B D E=l , 平面 A B M \cap 平面 B D E=m , 试分析 l 与 m 的位置关~~\\系, 并证明你的结论.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
充分利用线面平行的性\\质定理,由 (1)知 A M / / ~~\\平面 B D E ,\Rightarrow l / / A M ,~\\
同理, m / / A M , \Rightarrow l / / m .
参考辅助线
4.如图, 几何体 E-A B C D 是四棱锥, \triangle A B D 为正三角形, C B=C D, E C \perp B D .~~~~~~~~~~~\\
(1) 求证: B E=D E ;
( 2) 若 \angle B C D=120^{\circ}, M 为线段 A E 的中点,
求证: D M / / 平面 B E C .
答案
(2)证明平面MDN//~~~\\平面EBC.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考辅助线
5.如图, P A 垂直于以 A B 为直径的圆所在平面, C 为圆上异于 A, B 的任意一点, A E \perp P C , \\垂足为 E , 点 F 是 P B 上一点, 求证: (1) B C \perp 平面 P A C ;(2) A E \perp E F .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
提示:(1) P A \perp B C, A C \perp B C, P A \cap A C=A ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\Rightarrow B C \perp 平面 P A C ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 由 (1) 知 B C \perp A E, A E \perp P C , 且 B C \cap P C=C~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\Rightarrow A E \perp 平面 P C B .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.如图所示, 在四棱雉 P-A B C D 中, P A \perp 底面 A B C D, A B \perp A D, A C \perp C D, \angle A B C\\ =60^{\circ}, P A=A B=B C, E 是 P C 的中点.证明:
(1) C D \perp A E ;
(2) P D \perp 平面 A B E .~~~~~~~~
答案
提示: (1) P A \perp C D, A C \perp C D, P A \cap A C=A ,~~~~~~~~~\\
\Rightarrow C D \perp 平面 P A C .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 由 A E \perp 平面 P C D \Rightarrow A E \perp P D , 又 A B \perp P D,~~~~~\\ A B \cap A E=A, \therefore P D \perp 平面 A B E .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
交线及截面问题
1.(1)已知直四棱柱 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 的棱长均为 2, \angle B A D =60^{\circ},求以 D_{1} 为球心, ~~~~~\\\sqrt{5} 为半径的球面与侧面 B C C_{1} B_{1} 的交线长.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2)已知正方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 的棱长均为 2, 求以 D_{1} 为球心, \sqrt{5} 为半径的球面与底\\面 ABCD 的交线长.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知在圆柱 O_{1} O_{2} 内有一个球 O , 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,过直线 O_{1} O_{2} \\的平面截圆柱得到四边形 A B C D , 其面积为 8,若 P 为圆柱底面圆弧 \stackrel\frown{CD} 的中点, 求平面\\ P A B 与球 O 的交线长.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.如图, 在正方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 中, 点 E, F 分别是棱 B_{1} B, B_{1} C_{1} 的中点,点 G 是棱~~\\ C_{1} C 的中点, 则过线段 A G 且平行于平面 A_{1} E F 的截面图形为(\quad )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. 矩形\quad
B.三角形\quad
C.正方形\quad
D. 等腰梯形~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:D.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4. 已知正方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 的棱长为 a , 点 E, F, G 分别为棱 A B, A A_{1}, C_{1} D_{1} 的~~~~~\\中点,过 E, F, G 三点作正方体的截面, 求此截面的面积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习.已知正方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 的棱长为 4, E, F 分别是棱 A A_{1} , B C 的中点, 画出~~\\ 平面 D_{1} E F 截该正方体所得的截面.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考辅助线
5.如图, 正方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 的棱长为 2, E, F 分别为 A A_{1}, A B 的中点, M 点是正~~\\方形 A B B_{1} A_{1} 内的动点, 若 C_{1} M / / 平面 C D_{1} E F , 求 M 点的轨迹长度.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:\sqrt{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考辅助线
练习. 如图, 在棱长为 1 的正方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 中, M, N 分别是 A_{1} D_{1}, A_{1} B_{1} 的中点, \\过直线 B D 的平面 \alpha / / 平面 A M N , 求平面 \alpha 截该正方体所得截面的面积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
