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1.椭圆C:a2x2+b2y2=1(a>b>0),F为左焦点,上顶点P到F的距离为2,且离心率 为23.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M,N两点,且 ∣PM∣=∣PN∣,求k的取值范围.
2.A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6km,C在B北偏西300,相距4km,P为 炮兵阵地.某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于BC两地比A距P地远,因此4s 后,BC才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s,若A炮击P地,求炮击的 方向角。
3.已知椭圆C:a2x2+b2y2=1(a>b>0)的短轴长为23,左顶点A到右焦点F的距离为3.(1)求椭圆C的方程; (2)若直线l与椭圆C交于不同的两点M,N(不同于A),且直线AM和AN的斜率之积与 椭圆的离心率互为相反数,求证:直线l过定点.
练习1. 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点F到圆E:(x+3)2+y2=1 上一点的距离的最大值为6. (1)求抛物线C的方程. (2)设O是坐标原点,点P(2,4),A,B是抛物线C上异于点P的两点,直线PA,PB与y轴 分别相交于M,N两点(异于点O),且O是线段MN的中点,试判断直线AB是否经过定 点.若是,求出该定点坐标;若不是,说明理由.
参考图象
答案
答案:(1)y2=8x,(2)过定点(0,−2); (2)设AB:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线联立得:{x=my+ny2=8x, 则y2−8my−8n=0,Δ=64m2+32n>0,y1+y2=8m,y1y2=−8n. 直线PA:y−4=k1(x−2),x=0时,yM=−2k1+4, 直线PB:y−4=k2(x−2),x=0时,yN=−2k2+4 yM+yN=0⇒k1+k2=4即:x1−2y1−4+x2−2y2−4=4⇒8y12−2y1−4+8y22−2y2−4= y1+48+y2+48=4⇒y1y2+2(y1+y2)=0⇒n=2m. ∴AB:x=my+2m,过(0,−2).
4.已知点B是圆C:(x−1)2+y2=16上的任意一点,点F(−1,0),线段BF的垂直平分线交BC于点P. (1)求动点P的轨迹E的方程; (2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1,A2,Q为直线x=4上的动点,且Q不在x轴上, QA1与E的另一个交点为M,QA2与E的另一个交点为N,证明:△FMN的周长为定值.
参考图象
答案
答案:(1)4x2+3y2=1,(2)周长为定值8; 提示:设Q(4,t),⇒直线QA1:y=6t(x+2),直线:QA2:y=2t(x−2), 联立⎩⎨⎧y=6t(x+2),4x2+3y2=1,得:M(27+t254−2t2,27+t218t),同理得:N(3+t22t2−6,3+t2−6t), 直线MN:y+3+t26t=−t2−96t(x−3+t22t2−6),即y=−t2−96t(x−1), 所以直线过定点(1,0),即过传圆的右焦点F2,所以△FMN的周长为4a=8. 当kMN不存在,x1=x2=1,周长也等于8.所以△FMN的周长为定值8.
5.已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(−25,0),离心率为5. (1)求C的方程; (2)记C的左,右顶点分别为A1,A2,过点(−4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在 第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.
参考图象
答案
答案:(1)4x2−16y2=1,(2)P在定直线x=−1上; 提示:设直线MN的方程为x=my−4,联立{x=my−4,4x2−y2=16. 得(4m2−1)y2−32my+48=0,则y1+y2=4m2−132m,y1y2=4m2−148, 且4m2−1=0,Δ=256m2+192>0. 直线MA1:y=x1+2y1(x+2),直线NA2:y=x2−2y2(x−2). 联立得:x−2x+2=y1(x2−2)y2(x1+2)=my1y2−6y1my1y2−2(y1+y2)+2y1=4m2−148m−6y1−4m2−116m+2y1 =−31,所以x=−1,即点P在定直线x=−1上.
6.已知O为坐标原点,动直线l:y=kx+m(km=0)与双曲线C:x2−b2y2=1(b>0)的渐近线交于A,B两点,与椭圆D:2x2+y2=1交于E,F两点.当k2=10时,2(OA+OB)=3(OE+OF). (1)求双曲线C的方程;(2)若动直线l与双曲线C相切,求证:△OAB的面积为定值.
参考图象
答案
答案:(1)x2−3y2=1,(2)3; 提示:(1)2(OA+OB)=3(OE+OF),所以x1+x2=23(x3+x4).由{y=kx+m,y=bx,得x1=b−km同理可得x2=−b+km.由{y=kx+m,2x2+y2=1, 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0,所以x3+x4=−1+2k24km. 解得b=3.所以双曲线C的方程为x2−3y2=1. (2)证明双曲线的渐近线方程为y=±3x.由(1)得A(k−3−m,k−3−3m), B(k+3−m,k+33m),∠AOB=32π. 法一,所以S△OAB=21∣OA∣⋅∣OB∣⋅sin∠AOB= 21⋅∣∣k2−34m2∣∣⋅23=∣∣k2−33m2∣∣.由⎩⎨⎧y=kx+m,x2−3y2=1,得(3−k2)x2−2kmx−m2−3=0.所以Δ=4k2m2+4(3−k2)(m2+3)=0,得m2=k2−3,所以SOAB=∣∣k2−33m2∣∣=3.法二、原点O到AB距离d=k2+1∣m∣,∣AB∣=1+k2∣xA−xB∣= 1+k2∣k−3−m+k+3m∣,S△AOB=21∣AB∣⋅d=∣∣k2−33m2∣∣=3 法三、设曲线C上一点为(x0,y0)∴x02−3y02=1切线:x0x−3y0y=1与y=3x联立,⇒xA=3x0−3y03,yA=3x0−3y033,与y=−3x联立,⇒xB=3x0+3y03, yB=3x0+3y0−33.令y=0⇒切线与x轴交点(x01,0). ∴S△AOB=21∣∣x01∣∣∣yB−yA∣=21∣∣x01∣∣⋅33∣∣3x0−3y01+3x0+3y01∣∣=233∣∣x01∣∣∣∣9x02−3y026x0∣∣,9x02−3y02=9=3
7.已知椭圆C:a2x2+b2y2=1(a>b>0)经过点(2,3),离心率为23. (1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C有两个不同的交点A,B,原 点O到直线l的距离为2,求△ABO的面积的最大值.
答案
答案:解(1)16x2+4y2=1,(2)4;(2)提示:原点O到直线l的距离为2,⇒m2=4(k2+1).由⎩⎨⎧y=kx+m,16x2+4y2=1,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−16=0, Δ=16(16k2+4−m2)=192k2>0 ★使用公式∣AB∣=1+k2∣a∣Δ★则∣AB∣=1+4k283∣k∣1+k2.所以△ABO面积S=1+4k283∣k∣1+k2⩽1+4k28×23k2+1+k2 =4,当且仅当k=±22时取得等号,所以△ABO的面积的最大值为4.
8.如图,已知抛物线x2=y,点A(−21,41),B(23,49),拋物线上的点P(x,y),其中 −21<x<23,过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.求∣PA∣⋅∣PQ∣的最大值.
答案
答案:1627;提示:设P(x,y),因为y=x2.由已知得∣PA∣∣PB∣=−PA⋅PB =−(x+21,y−41)⋅(x−23,y−49)=−[(x+21)(x−23)+(x2−41)(x2−49)] =−x4+23x2+x+163=f(x),⇒f′(x)=−4x3+3x+1=3x−3x3+1−x3 =(1−x)(2x+1)2,x=1为极大值点.所以f(x)max=1627.
9.已知点A(m,4)(m>0)在抛物线x2=4y上,过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2且l1,l2与抛物线的另一个交点分别为B,C. (1)求证:直线BC的斜率为定值; (2)若拋物线上存在两点关于BC对称,求∣BC∣的取值范围.
答案
答案(1)−2,(2)105;提示:由{y−4=k(x−4)x2=4y⇒x2−4kx+16k−16=0,x1x2=16k−16⇒xB=4k−4,同理xC=−4k−4,kBC=xB−xCyB−yC=41(xB+xC)=−2. (2)BC:y=−2x+t,BC中垂线:y=21x+m,由⎩⎨⎧y=21x+mx2=4y⇒x2−2x−4m=0,Δ=4+16m>0,m>−41,x1+x2=2=2x0,得x0=1,y0=21+m,代入BC得m=−25+t>−41⇒t>49.由{y=−2x+tx2=4y⇒x2+8x−4t=0,∣BC∣= 1+k2∣a∣Δ=564+16t>105