观看人数： 93
数列裂项求和
根据数列的通项公式a_n，求前n项和S_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1.a_n=\frac{1}{n(n+1)} ,求S_n；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\答案：
a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} ,S_n=1-\frac{1}{n+1} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.a_n=\frac{1}{n(n+2)} ,求S_n；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\答案
a_n=\frac{1}{2}( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}) ,S_n=\frac{1}{2}( 1+\frac{1}{2} -\frac{1}{n+1} -\frac{1}{n+2} )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.a_n=\frac{4n^2}{(2n-1)(2n+1)} ,求S_n；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\答案
a_n= \frac{4n^2-1+1}{4n^2-1} =1+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=1+\frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\therefore S_n=n+\frac{1}{2}( 1-\frac{1}{2n+1} )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.a_n=(-1)^n\frac{4n}{(2n-1)(2n+1)} ,求S_n；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
a_n=(-1)^n(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1} ),S_n=\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{-2n}{2n+1},n为偶数 & \\
\displaystyle \frac{-2n-2}{2n+1},n为奇数 &
\end{matrix}\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)} ,求S_n；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
a_n=\frac{1}{2}[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} ],S_n=\frac{1}{2} [\frac{1}{2}- \frac{1}{(n+1)(n+2)} ]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.a_n=\frac{2^n}{(2^n-1)(2^{n+1}-1)} ,求S_n；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
a_n=\frac{1}{2^n-1}-\frac{1}{2^{n+1}-1} ,S_n=1-\frac{1}{2^{n+1}-1}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.(1)a_n=\frac{n+2}{n(n+1)2^{n+1}} ,求S_n;
(2)a_n=\frac{3n+4}{n(n+1)4^{n}} ,求S_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)a_n=\frac{1}{n2^n}-\frac{1}{({n+1)2^{n+1}}} ,S_n=\frac{1}{2} -\frac{1}{({n+1)2^{n+1}}};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(1)a_n=\frac{1}{n4^n}-\frac{1}{({n+1)4^{n+1}}} ,S_n=\frac{1}{4} -\frac{1}{({n+1)4^{n+1}}}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.a_n=\lg_{}{\frac{n+1}{n} } ,求S_n;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
a_n=\lg_{}{(n+1)}-\lg_{}{n} ,S_n=\lg_{}{(n+1)} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}},求S_n;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1},S_n=\sqrt{n+1}-1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
10.a_1=1,\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n^2}{n^2-1},b_n=\frac{a_n}{n^2},求数列\{b_n\}的前n项和S_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
S_n=\frac{2n}{n+1};提示：\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n^2}{n^2-1}=\frac{n}{n-1}\frac{n}{n+1},累乘得a_n=\frac{2n}{n+1},S_n=\frac{2n}{n+1}.~~~~~~~
分组、公式求和
1.在数列 \left\{a_{n}\right\} 中， a_{n}=\left\{\begin{array}{l}2 n-1, n \text { 为奇数 } \\ \left(-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right. , 前 n 项和为 S_{n} ，求 S_{2 n}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：2n^2-n+2-\frac{1}{2^{n-1}};提示：S_n=(a_1+a_3+\dots)+(a_2+a_4+\dots),各n项.~~~~~~~~~~
2.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 中，a_1=4, a_{n-1}+a_{n}=4 n-2,(n \geqslant 2) ，求前 n 项和 S_{n} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: S_{n}=\left\{\begin{array}{ll}n^{2}+n, & \text { 当 } n \text { 为偶数时, } \\ n^{2}+n+2, & \text { 当 } n \text { 为奇数时. }\end{array}\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:a_{n-1}+a_{n}=4 n-2, n \in N^{*}, n \geqslant 2 ，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
当 n 为偶数时, S_{n}=\left(a_{1}+a_{2}\right)+\left(a_{3}+a_{4}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}+a_{n}\right)=6+14+\dots =n^{2}+n ;~\\
当 n 为奇数时，
S_{n}=a_{1}+\left(a_{2}+a_{3}\right)+\left(a_{4}+a_{5}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}+a_{n}\right)=n^{2}+n+2.~~~~~~~~~\\
当 n=1 时， a_{1}=4 ，满足上式，
综上所述, S_{n}=\left\{\begin{array}{ll}n^{2}+n, & \text { 当 } n \text { 为偶数时, } \\ n^{2}+n+2, & \text { 当 } n \text { 为奇数时. }\end{array}\right. ~~~~~~
