观看人数： 72
题目
1.设 (1-2 x)^{2020}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+ a_{2020} \cdot x^{2020}(x \in \mathbf{R}) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1) 求 a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2020} 的值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 求 a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2019} 的值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3) 求 a_{2}+a_{4}+a_{6}+\cdots+a_{2020} 的值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(4)(a_{0}+a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2020} )^2-(a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2019})^2;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(5) 求 \left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{2020}\right| 的值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(6) a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+2020 a_{2020} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)1;(2)\frac{1-3^{2020}}{2} ;(3)\frac{3^{2020}-1}{2};(4)3^{2020};(5)3^{2020};(6)4040.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.二项展开式的应用~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1) 化简：1-2 \mathrm{C}_{n}^{1}+4 \mathrm{C}_{n}^{2}-8 \mathrm{C}_{n}^{3}+\cdots+(-2)^{n} \mathrm{C}_{n}^{n}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 化简:(x-1)^{5}+5(x-1)^{4}+10(x-1)^{3}+ 10(x-1)^{2}+5(x-1) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)已知 (1+x)^{10}=a_{0}+a_{1}(1-x)+a_{2}(1-x)^{2}+\cdots+ a_{10}(1-x)^{10} , 求 a_{8}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(4)对任意实数 x , 有 x^{3}=a_{0}+a_{1}(x-2)+a_{2}(x-2)^{2}+ a_{3}(x-2)^{3} , 求 a_{2} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
答案
(1)(-1)^n;(2)x^5-1;(3)180;(4)6.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.二项展开式的通项~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\(1)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)的展开式中，求含x^5的项的系数.~~~~~~~~~~~~\\(2)求(1+x+x^2)(1-x)^{10}的展开式中x^4的系数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)求(x^2+x-1)^5的展开式中x^5的系数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)-21;(2)135;(3)11.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知 \left(x-\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{n} 的展开式中共有7项，求下列问题.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求n;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)求所有项的二项式系数和;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(3)求所有项的系数和;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(4)系数的绝对值最大的项;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(5)有理项共几项.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)6;(2)2^6=64;(3)(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64};(4)\frac{15}{4}x^3;(5)4.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.求55^{55}被9的余数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：1；提示：55^{55}=(54+1)^{55}= {\textstyle C_{55}^{0}} 54^{55}+ {\textstyle C_{55}^{1}} 54^{54}+\dots + {\textstyle C_{55}^{54}} 54+1,含54的项~~~~\\被9整除，所以余数为1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
