观看人数： 112
已知函数单调性求参数范围
1.若函数 f(x) 是定义域 D 内某个区间 I 上的增函数, 且 F(x)=\frac{f(x)}{x} 在 I 上是减函数, 则~~~~\\称函数 f(x) 是 I 上的 “单反减函数”. 已知 f(x)=\ln x , g(x)=2 x+\frac{2}{x}+a \ln x(a \in \mathbf{R}) .~~~~~~\\
(1) 判断函数 f(x) 在 (0,1) 内是不是 “单反减函数”;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 若函数 g(x) 是 [1,+\infty) 上的 “单反减函数”,求实数 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)不是单反减函数（2）0\le a\le4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
放缩一个量证明不等式
2.函数f(x)=e^x-2x+2a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\求证：当a>ln2-1且x>0时，e^x>x^2-2ax+1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习1：已知f(x)=\frac{ax^2+x-1}{e^x} ,求证：当a\ge 1时，f(x)+e\ge 0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
只需证明a=1时，f(x)+e\ge 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习2：当x>0时，证明：e^x-\sin x-1>x\ln x.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
提示：先放缩,当x>0时,x>\sin x.只需证e^x-x-1>x\ln x,令f(x)=e^x-x-1-~~\\x\ln x,f'(x)=e^x-\ln x-2,f''(x)=e^x-\frac{1}{x},f''(\frac{1}{2})=\sqrt{e}-2<0,f''(1)>0,\therefore \exists x_0\in\\ (\frac{1}{2},1) ,即e^{x_0}=\frac{1}{x_0} ,f''(x_0)=0,\therefore f'(x)的极小值为f'(x_0)=e^{x_0}-\ln{x_0}-2=~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\x_0+\frac{1}{x_0}-2>0,\therefore f'(x)\ge f'(x_0)>0,\therefore f(x)在(0,+\infty )单增，f(x)>f(0)=~~~~~~~~~~~~~~\\\lim_{x \to 0} x\ln x=\lim_{x \to 0} \frac{(\ln x)'}{(\frac{1}{x})' } =\lim_{x \to 0} x=0,\therefore f(x)>0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习3：已知函数f(x)=ae^x-\ln x-1,证明：当a\ge\frac{1}{e}时，f(x)\ge0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
提示：只需证明a=\frac{1}{e}时，f(x)\ge 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
分离参量并猜根
3.设f(x)=ax+ax\ln x,a>0.若对于\forall x\in [\frac{1}{2},+\infty ),有f(x)\le e^{2x}恒成立，求a的~~~~~~~~~\\最大值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
a\le e^2,所以a的最大值为e^2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
