圆锥曲线的概念及性质

圆锥曲线的方程及离心率

1.已知双曲线\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)的左焦点为F,若双曲线右支上存在点A,使得~~\\AF与双曲线的一条渐近线垂直且交于B,|AF|=5|BF|,求双曲线的渐近线方程.~~~~~~~~~~
答案

答案:y=\frac{5}{4}x或y=-\frac{5}{4}x.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2.已知双曲线E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0),直线l的斜率为-\frac{1}{2},且过点M(a,b),直线l\\与x轴交于点C,点D在曲线E的右支上,且满足\overrightarrow{MD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC},求E的离心率.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:e=\frac{\sqrt{5}}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.已知  F_{1}, F_{2}  分别为椭圆  C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)  的左,右焦点,过  F_{1}  的直线与  C 交\\于  P, Q  两点,若  \left|P F_{1}\right|=2\left|P F_{2}\right|=5\left|F_{1} Q\right| ,求 C  的离心率.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:  \frac{\sqrt{5}}{3};提示:Q F_{1}=13,\Rightarrow \angle Q P F_{1}=90^{\circ},P F_{1}+P F_{2}=15=2 a, F_{1} F_{2}=5 \sqrt{5}=2 c .
答案:  \frac{\sqrt{5}}{3};提示:Q F_{1}=13,\Rightarrow \angle Q P F_{1}=90^{\circ},~~~~~~~~~~~~~~~~\\P F_{1}+P F_{2}=15=2 a, F_{1} F_{2}=5 \sqrt{5}=2 c .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

4.已知椭圆  \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0), F_{1}, F_{2}  分别为椭圆的左,右焦点,A  为椭圆的上顶~~~~~\\点,直线  A F_{2}  交椭圆于另一点  B,且  \overrightarrow{A F_{2}}=2 \overrightarrow{F_{2} B} ,求椭圆的离心率.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案: e=\frac{\sqrt{3}}{3}  ;提示:根据三角形相似  \Rightarrow  坐标  B\left(\frac{3 c}{2},-\frac{b}{2}\right)  ,代入椭圆.~~~~~~~~~~~~~~~~~~

5.已知椭圆  C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0 < b < 2)  的左右焦点为  F_{1}, F_{2}, M  是  C  上的动点,点~~~~~~~~~~~~\\N(0, \sqrt{3}),若  |M N|+\left|M F_{1}\right|  的最大值为 6,则  C  的离心率为 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:\frac{1}{2} ;提示:
|M N|+\left|M F_{1}\right|=|M N|+2 a-\left|M F_{2}\right|~~~\\=4+\left(|M N|-\left|M F_{2}\right|\right) \leq 4+\left|F_{2} N\right|=6 \Rightarrow c=1.~~~~~~~~~~

6.双曲线  \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)  的左,右焦点分别为  F_{1}, F_{2}  .过  F_{2}  作其中一条渐近线的\\垂线,垂足为  P .已知  \left|P F_{2}\right|=2,直线  P F_{1}  的斜率为  \frac{\sqrt{2}}{4} ,则双曲线的方程为(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=1 \quad
B. \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1 \quad
C. \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1 \quad
D . \frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案: D;提示:
渐近线  y=\frac{b}{a}x, k=\tan \theta=\frac{b}{a}, \sin \theta=\frac{b}{c}, \cos \theta=\frac{a}{c} \Rightarrow P\left(\frac{a^{2}}{c}, \frac{a b}{c}\right) ,~~~~~\\
 \left|P F_{2}\right|=b=2  ,直线  P F_{1}  的斜率为  \frac{\sqrt{2}}{4}, \Rightarrow \frac{a b}{a^{2}+c^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} ,

a^{2}-2 \sqrt{2} a+2=0, \Rightarrow a=\sqrt{2} . \\\Rightarrow \frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

7.已知双曲线  C  的左,右焦点分别为  F_{1}(-\sqrt{7}, 0), F_{2}(\sqrt{7}, 0)  ,过  F_{2}  的直线与  C 的右支交于~\\  A, B  两点若  \overrightarrow{A F_{2}}=2 \overrightarrow{F_{2} B},|A B|=\left|F_{1} B\right|  ,则双曲线  C  的方程为.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:  \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1 ;
提示: 如 图 ,令  \left|F_{2} B\right|=t  ,~~~~~~~~~~~~~~\\则  \left|A F_{2}\right|=2 t, \therefore|A B|=\left|F_{1} B\right|=  3t, \left|F_{1} B\right|-\left|F_{2} B\right|~~~~~\\=2 a=2 t \Rightarrow t=a  ,由余弦定理~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ \cos A F_{2} F_{1}=-\cos B F_{2} F_{1}, \Rightarrow a^{2}=3 ,
 b^{2}=4 .~~~~~~~~~~~~~~~~

8.方程  \sqrt{(x+10)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-10)^{2}+y^{2}}=12  的化简结果为(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.  \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1 \quad
B.  \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1 \quad
C. \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1(x>0) \quad
D . \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1(x>0) ~~~~
答案

答案 :C;提示:
由几何意义知轨迹为双曲线的右支.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

9.已知面积为 16 的正方形  A B C D  的顶点  A, B  分别在  x  轴和  y  轴上滑动, O  为坐标原点,~~~~~~ \\ \overrightarrow{O P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O B}  ,则动点  P  的轨迹方程是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1 \quad
B.  \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad
C.  \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}=1 \quad
D.  \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案 :B;
提示:设  P(x, y), A(m, 0), B(0, n)  ,正方形  A B C D  的面积为 16 ,
则  |A B|=4  ,则~\\  m^{2}+n^{2}=16  ,
由  \overrightarrow{O P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O B}  ,
得  \left\{\begin{array}{l}x=\displaystyle\frac{3}{4} m, \\ y=\displaystyle\frac{1}{2} n,\end{array}\right.  即  \left\{\begin{array}{l}m=\displaystyle\frac{4}{3} x, \\ n=2 y,\end{array}\right.  代入上式可得.~


圆锥曲线的焦点三角形

1.已知𝐹_1,𝐹_2是双曲线\frac{𝑥^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1的左右焦点,过𝐹_1的直线分别交双曲线的左右两~~~~~~~\\支于𝐴,𝐵两点,且∠𝐹_2𝐴𝐵=∠𝐹_2𝐵𝐴,求|𝐵𝐹_2|.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
答案

答案:2\sqrt{5}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2.已知𝐹_1,𝐹_2是双曲线\frac{𝑥^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1的左右焦点,𝑂是坐标原点,𝑃是双曲线上的一点,~\\且|𝑂𝑃|=\sqrt{10},求\cos ∠ 𝐹_1𝑃𝐹_2.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad
答案

答案:\frac{1}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.已知F_1,F_2是椭圆\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1的两个焦点,P是椭圆上任意一点,若∠F_1PF_2~~~~~~~~~~\\=60^{\circ},求ΔF_1PF_2的面积。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:S_{ΔF_1PF_2}=\frac{64\sqrt{3}}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

4.已知椭圆\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1,P是椭圆上的一点且在第一象限,F_1,F_2是左右焦点,且~~~~~~~~~~~\\∠F_1PF_2=60^0,求P点坐标。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:\frac{2\sqrt{6}}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

5.已知F_1,F_2是椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且~~~~~~~~~\\∠F_1PF_2=60^{\circ}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(1)求椭圆离心率的范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)求证:ΔF_1PF_2的面积只与椭圆的短轴长有关。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)e\in [\frac{1}{2},1)(2)\frac{\sqrt{3}}{3}b^2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

6.已知  F_{1}, F_{2}  是双曲线  C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)  的左,右焦点,过  F_{1}  的直线与  C  的\\左,右两支分别交于  A, B  两点.若以  C  的中心为圆心, F_{1} F_{2}  的长为直径的圆与  C  的右~~\\支的一个交点恰为  B  ,若  |A B|  ,  \left|B F_{2}\right|,\left|A F_{2}\right|  成等差数列,则  C  的渐近线方程为.~~~~~~~~~
答案

答案:y=\pm2\sqrt{3}x;提示:\begin{align*}
|BF_1|-|BF_2|& = 2a\\
|AF_2|-|AF_1|& = 2a
\end{align*},

 
两式相加得,
\\|AB|+|AF_2|-|BF_2| = 4a,
 
\because |AB|+|AF_2| = 2|BF_2|,~~~~\\
 
\therefore |BF_2| = 4a,\therefore |BF_1| = 6a,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
 
由|BF_1|^2+|BF_2|^2 = |F_1F_2|^2\Rightarrow\frac{b^2}{a^2}=12.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~


几何意义

1.如图,过A_i(i=1,2,3,4)点作一条直线,该直线与双曲线恰有一个公共点,分别求~~\\直线的条数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:4,2,3,2;提示:过A_1可作两条切线,两条分~~~~~\\别与渐近线平行的直线.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2.已知双曲线  \Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)  ,任取双曲线  \Gamma  右支上两个不相同的点  P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)  ,  ~~~\\P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)  ,都有  x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}>0  成立,求实数  a  的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案: [1,+\infty) ;提示:两条渐近线的夹角 \leqslant 90^{\circ},即

一条渐近线  y=\frac{1}{a} x  的斜率  \frac{1}{a} \leqslant 1,又 \\ a>0, \therefore a \geqslant 1  .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.已知直线  l  的方程为  y=k x-1  ,双曲线  C  的方程为  x^{2}-y^{2}=1  .若直线  l  与双曲线  C ~~~~~~~ \\的右支交于不同的两点,则实数  k  的取值范围是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\

A. (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \quad
B. [1, \sqrt{2}) \quad
C. [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \quad
D.(1, \sqrt{2}) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:D;提示:直线 1 过定点  (0,-1)  ,与右支相切时斜率k=\sqrt{2}  ,与渐近线平行时  k=1 .

4.设  A, B  为双曲线  x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1  上两点,下列四个点中,可为线段  A B  中点的是 (\quad)~~~~~~~~~~~\\

A. (1,1) \quad
B. (-1,2) \quad
C. (1,3) \quad
D. (-1,-4)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:D;提示:观察图象,若直线与双曲线的两支~~~~~~\\相交,中点在双曲线开口外侧,否则在开口内侧.由~~~~~~~\\中点弦结论可知k_{AB}k_{OM}=\frac{b^{2}}{a^2},由各选项可得k_{AB},~~~~~~\\其中,|k_{AB}|<3的直线与左右两支相交.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\选项A,k_{AB}=9;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
选项B,k_{AB}=-\frac{9}{2};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\选项C,k_{AB}=3;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
选项D,k_{AB}=\frac{9}{4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\

留下评论