观看人数： 181
圆锥曲线的方程及离心率
1.已知双曲线\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)的左焦点为F,若双曲线右支上存在点A,使得~~\\AF与双曲线的一条渐近线垂直且交于B,|AF|=5|BF|,求双曲线的渐近线方程.~~~~~~~~~~答案
答案:y=\frac{5}{4}x或y=-\frac{5}{4}x.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知双曲线E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0),直线l的斜率为-\frac{1}{2},且过点M(a,b),直线l\\与x轴交于点C,点D在曲线E的右支上,且满足\overrightarrow{MD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC},求E的离心率.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:e=\frac{\sqrt{5}}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知 F_{1}, F_{2} 分别为椭圆 C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) 的左，右焦点，过 F_{1} 的直线与 C 交\\于 P, Q 两点，若 \left|P F_{1}\right|=2\left|P F_{2}\right|=5\left|F_{1} Q\right| ,求 C 的离心率.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: \frac{\sqrt{5}}{3};提示:Q F_{1}=13,\Rightarrow \angle Q P F_{1}=90^{\circ},P F_{1}+P F_{2}=15=2 a, F_{1} F_{2}=5 \sqrt{5}=2 c .
答案: \frac{\sqrt{5}}{3};提示:Q F_{1}=13,\Rightarrow \angle Q P F_{1}=90^{\circ},~~~~~~~~~~~~~~~~\\P F_{1}+P F_{2}=15=2 a, F_{1} F_{2}=5 \sqrt{5}=2 c .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知椭圆 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0), F_{1}, F_{2} 分别为椭圆的左,右焦点,A 为椭圆的上顶~~~~~\\点，直线 A F_{2} 交椭圆于另一点 B,且 \overrightarrow{A F_{2}}=2 \overrightarrow{F_{2} B} ,求椭圆的离心率．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案： e=\frac{\sqrt{3}}{3} ；提示：根据三角形相似 \Rightarrow 坐标 B\left(\frac{3 c}{2},-\frac{b}{2}\right) ，代入椭圆．~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知椭圆 C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0 < b < 2) 的左右焦点为 F_{1}, F_{2}, M 是 C 上的动点,点~~~~~~~~~~~~\\N(0, \sqrt{3}),若 |M N|+\left|M F_{1}\right| 的最大值为 6,则 C 的离心率为 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:\frac{1}{2} ;提示：
|M N|+\left|M F_{1}\right|=|M N|+2 a-\left|M F_{2}\right|~~~\\=4+\left(|M N|-\left|M F_{2}\right|\right) \leq 4+\left|F_{2} N\right|=6 \Rightarrow c=1.~~~~~~~~~~
6.双曲线 \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) 的左,右焦点分别为 F_{1}, F_{2} .过 F_{2} 作其中一条渐近线的\\垂线,垂足为 P .已知 \left|P F_{2}\right|=2,直线 P F_{1} 的斜率为 \frac{\sqrt{2}}{4} ,则双曲线的方程为(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=1 \quad
B. \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1 \quad
C. \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1 \quad
D . \frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: D;提示:
渐近线 y=\frac{b}{a}x, k=\tan \theta=\frac{b}{a}, \sin \theta=\frac{b}{c}, \cos \theta=\frac{a}{c} \Rightarrow P\left(\frac{a^{2}}{c}, \frac{a b}{c}\right) ,~~~~~\\
\left|P F_{2}\right|=b=2 ,直线 P F_{1} 的斜率为 \frac{\sqrt{2}}{4}, \Rightarrow \frac{a b}{a^{2}+c^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} ,
a^{2}-2 \sqrt{2} a+2=0, \Rightarrow a=\sqrt{2} . \\\Rightarrow \frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.已知双曲线 C 的左,右焦点分别为 F_{1}(-\sqrt{7}, 0), F_{2}(\sqrt{7}, 0) ,过 F_{2} 的直线与 C 的右支交于~\\ A, B 两点若 \overrightarrow{A F_{2}}=2 \overrightarrow{F_{2} B},|A B|=\left|F_{1} B\right| ,则双曲线 C 的方程为.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: \frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1 ;
提示: 如 图 ,令 \left|F_{2} B\right|=t ,~~~~~~~~~~~~~~\\则 \left|A F_{2}\right|=2 t, \therefore|A B|=\left|F_{1} B\right|= 3t, \left|F_{1} B\right|-\left|F_{2} B\right|~~~~~\\=2 a=2 t \Rightarrow t=a ,由余弦定理~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ \cos A F_{2} F_{1}=-\cos B F_{2} F_{1}, \Rightarrow a^{2}=3 ,
b^{2}=4 .~~~~~~~~~~~~~~~~
8.方程 \sqrt{(x+10)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-10)^{2}+y^{2}}=12 的化简结果为(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1 \quad
B. \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1 \quad
C. \frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1(x>0) \quad
D . \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1(x>0) ~~~~答案
答案 :C;提示:
由几何意义知轨迹为双曲线的右支.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.已知面积为 16 的正方形 A B C D 的顶点 A, B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动, O 为坐标原点,~~~~~~ \\ \overrightarrow{O P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O B} ,则动点 P 的轨迹方程是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1 \quad
B. \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad
C. \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}=1 \quad
D. \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案 :B;
提示:设 P(x, y), A(m, 0), B(0, n) ,正方形 A B C D 的面积为 16 ,
则 |A B|=4 ,则~\\ m^{2}+n^{2}=16 ,
由 \overrightarrow{O P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{2} \overrightarrow{O B} ,
得 \left\{\begin{array}{l}x=\displaystyle\frac{3}{4} m, \\ y=\displaystyle\frac{1}{2} n,\end{array}\right. 即 \left\{\begin{array}{l}m=\displaystyle\frac{4}{3} x, \\ n=2 y,\end{array}\right. 代入上式可得.~
圆锥曲线的焦点三角形
1.已知𝐹_1,𝐹_2是双曲线\frac{𝑥^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1的左右焦点,过𝐹_1的直线分别交双曲线的左右两~~~~~~~\\支于𝐴,𝐵两点，且∠𝐹_2𝐴𝐵=∠𝐹_2𝐵𝐴，求|𝐵𝐹_2|.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad答案
答案:2\sqrt{5}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知𝐹_1,𝐹_2是双曲线\frac{𝑥^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1的左右焦点,𝑂是坐标原点，𝑃是双曲线上的一点，~\\且|𝑂𝑃|=\sqrt{10}，求\cos ∠ 𝐹_1𝑃𝐹_2.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad答案
答案:\frac{1}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知F_1,F_2是椭圆\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若∠F_1PF_2~~~~~~~~~~\\=60^{\circ},求ΔF_1PF_2的面积。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:S_{ΔF_1PF_2}=\frac{64\sqrt{3}}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知椭圆\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1,P是椭圆上的一点且在第一象限，F_1,F_2是左右焦点,且~~~~~~~~~~~\\∠F_1PF_2=60^0,求P点坐标。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:\frac{2\sqrt{6}}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知F_1,F_2是椭圆\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆上任意一点,且~~~~~~~~~\\∠F_1PF_2=60^{\circ}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(1)求椭圆离心率的范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)求证:ΔF_1PF_2的面积只与椭圆的短轴长有关。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1)e\in [\frac{1}{2},1)(2)\frac{\sqrt{3}}{3}b^2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.已知 F_{1}, F_{2} 是双曲线 C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0) 的左，右焦点，过 F_{1} 的直线与 C 的\\左，右两支分别交于 A, B 两点．若以 C 的中心为圆心， F_{1} F_{2} 的长为直径的圆与 C 的右~~\\支的一个交点恰为 B ，若 |A B| ， \left|B F_{2}\right|,\left|A F_{2}\right| 成等差数列，则 C 的渐近线方程为.~~~~~~~~~
答案
答案:y=\pm2\sqrt{3}x;提示:\begin{align*}
|BF_1|-|BF_2|& = 2a\\
|AF_2|-|AF_1|& = 2a
\end{align*},
两式相加得，
\\|AB|+|AF_2|-|BF_2| = 4a,
\because |AB|+|AF_2| = 2|BF_2|,~~~~\\
\therefore |BF_2| = 4a，\therefore |BF_1| = 6a,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
由|BF_1|^2+|BF_2|^2 = |F_1F_2|^2\Rightarrow\frac{b^2}{a^2}=12.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
几何意义
1.如图，过A_i(i=1,2,3,4)点作一条直线，该直线与双曲线恰有一个公共点，分别求~~\\直线的条数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:4,2,3,2;提示:过A_1可作两条切线，两条分~~~~~\\别与渐近线平行的直线.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知双曲线 \Gamma: \frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0) ,任取双曲线 \Gamma 右支上两个不相同的点 P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) , ~~~\\P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) ,都有 x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}>0 成立,求实数 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: [1,+\infty) ;提示:两条渐近线的夹角 \leqslant 90^{\circ},即
一条渐近线 y=\frac{1}{a} x 的斜率 \frac{1}{a} \leqslant 1,又 \\ a>0, \therefore a \geqslant 1 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知直线 l 的方程为 y=k x-1 ,双曲线 C 的方程为 x^{2}-y^{2}=1 .若直线 l 与双曲线 C ~~~~~~~ \\的右支交于不同的两点,则实数 k 的取值范围是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \quad
B. [1, \sqrt{2}) \quad
C. [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \quad
D.(1, \sqrt{2}) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:D;提示:直线 1 过定点 (0,-1) ,与右支相切时斜率k=\sqrt{2} ,与渐近线平行时 k=1 .
4.设 A, B 为双曲线 x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1 上两点,下列四个点中,可为线段 A B 中点的是 (\quad)~~~~~~~~~~~\\
A. (1,1) \quad
B. (-1,2) \quad
C. (1,3) \quad
D. (-1,-4)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:D;提示:观察图象,若直线与双曲线的两支~~~~~~\\相交,中点在双曲线开口外侧,否则在开口内侧.由~~~~~~~\\中点弦结论可知k_{AB}k_{OM}=\frac{b^{2}}{a^2},由各选项可得k_{AB},~~~~~~\\其中，|k_{AB}|<3的直线与左右两支相交.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\选项A,k_{AB}=9;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
选项B,k_{AB}=-\frac{9}{2};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\选项C,k_{AB}=3;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
选项D,k_{AB}=\frac{9}{4}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
