2. 如图, 在平行六面体 A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} 中, A B=2, A D=2, A A^{\prime}=3, \angle B A D=~~~~~~~~\\\angle B A A^{\prime}= \angle D A A^{\prime}=60^{\circ} . 求 (1)求 B C^{\prime} 与 C A^{\prime} 的长;(2) B C^{\prime} 与 C A^{\prime} 的夹角.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.如图, 正四面体 A B C D 的棱长为 1, E, F ,
G, H 分别是正四面体 A B C D 中各棱的中点.~~~\\
求: (1) \overrightarrow{E F} 的模长; (2)求 \overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{G H} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.如图, 二面角 \alpha-l-\beta 的棱上有两个点 A, B , 线段 B D 与 A C 分别在这个二面角的两个~\\面内, 并且都垂直于棱 l . 若 A B=4, A C=6, B D=8, C D=2 \sqrt{17} , 求平面 \alpha 与平面 \beta 的~~\\夹角.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1.如图, 在棱长为 1 的正方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 中, E 为线段 D D_{1} 的中点, F 为线段 B B_{1} \\的中点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1) 求点 A_{1} 到直线 B_{1} E 的距离;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 求点 A_{1} 到平面 A B_{1} E 的距离;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3) 求直线 F C_{1} 到平面 A B_{1} E 的距离.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.如图, 三棱锥 A-B C D 中, D A=D B=D C, B D \perp C D , \angle A D B=\angle A D C=60^{\circ}, E 为 \\ B C 的中点.
(1)证明: B C \perp D A ;
(2)点 F 满足 \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{D A} , 求二面角 D-A B-F 的正弦值.
答案
提示:(1) A E \perp B C, \mathrm{BC} \perp D E, A E \cap D E=E, ~~~~~~~~~~~~~~~\\\Rightarrow B C \perp 面 ADE,\Rightarrow B C \perp AD.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)建系如图， D(\sqrt{2}, 0,0), B(0, \sqrt{2}, 0), A(0,0, \sqrt{2}) ,~~~~~~~~~\\
F(-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}),\Rightarrow 平面 D A B 的法向量为 \boldsymbol{m}=(1,1,1) .\Rightarrow \\
平面 A B F 的法向量为 \boldsymbol{n}=(0,1,1) ,
所以 \cos \langle\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n}\rangle=\frac{\sqrt{6}}{3},\\
\sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考辅助线
3.已知一圆形纸片的圆心为 O , 直径 A B=2 , 圆周上有 C, D 两点. 如图, O C \perp A B , ~~~~~~~~~~~\\ \angle A O D=\frac{\pi}{6} , 点 P 是 \stackrel\frown{BD} 上的动点沿 A B 将纸片折为直二面角, 并连接 P O, P D , P C, C D .\\
(1)当 A B / / 平面 P C D 时, 求 P D 的长;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当三棱锥 P-C O D 的体积最大时, 求平面 O P D 与平面 C P D 夹角的余弦值.~~~~~~~~~~~~~~~~
参考辅助线
答案
提示: (1)因为 A B / / 平面 P C D, \Rightarrow A B / / P D, \Rightarrow \angle P O D=\frac{2 \pi}{3}, \Rightarrow P D=\sqrt{3};~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 由题意知 O C \perp 平面 P O D , 且 O D \perp O P 时, 三棱雉 P-C O D 的体积最大.建系如图~~\\所示,则 C(1,0,0), D(0,0,1), P(0,1,0) ,
故 \overrightarrow{P C}=(1,-1,0), \overrightarrow{D P}=(0,1,-1),
\Rightarrow~~~~~~~~~~~~~~~ \\平面 C P D 的一个法向量为 \boldsymbol{n}_{1}=(1,1,1),
\Rightarrow 平面 O P D 的一个法向量为 \boldsymbol{n}_{2}=(1,0,0) ,~~~~\\
\Rightarrow \cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}\right\rangle=\frac{\sqrt{3}}{3} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习.如图,四棱雉 P-A B C D 的所有顶点均在同一个球的球面上,且 A B=A D=4, ~~\\B C \perp C D, P B \perp 平面 P A D .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明：平面 P A B \perp 平面 A B C D ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)求四棱雉 P-A B C D 体积的最大值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)当四棱雉 P-A B C D 的体积最大时,求直线 P C 与平面 P B D 所成角的正弦值.~~~~~~~~~~
4.如图，四棱雉 P-A B C D 中， P A \perp 底面 A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3} .\\
(1) 若 A D \perp P B ，证明: A D / / 平面 P B C ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 若 A D \perp D C ，且二面角 A-C P-D 的正弦值为 \frac{\sqrt{42}}{7} ，求 A D .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.如图, 在三棱锥 A-B C D 中, 平面 A B D \perp 平面 B C D , A B=A D, O 为 B D 的中点.~~~~~~~\\
(1)证明: O A \perp C D ;
(2)若 \triangle O C D 是边长为 1 的等边三角形, 点 E 在棱 A D 上, D E=2 E A ,\\ 且二面角 E-B C-D 的大小为 45^{\circ} , 求三棱锥 A-B C D 的体积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考辅助线
参考辅助线
答案
方法一、如图, 过点 E 作 E F / / A O , 交 B D 于 F , 过点 F 作 F G \perp B C , 垂足为 G ,连接 E G ,~~\\ \angle E G F=45^{\circ} , 则 G F=E F 由 D E=2 E A ,\therefore E F=\frac{2}{3} O A, D F=2 O F,
\therefore \frac{B F}{F D}=2 .~~~~~~~ \\\therefore G F=\frac{2}{3}, \therefore E F=G F=\frac{2}{3}, \therefore O A=1, \therefore V_{A-B C D}=\frac{1}{3} S_{\triangle B C D} \cdot A O =\frac{\sqrt{3}}{6} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~
方法二、建系如图， B(1,0,0), D(-1,0,0), C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) . 设 A(0 ， 0, a), a>0, ~~~~~~~~~\\E\left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2 a}{3}\right) .
平面 B C D 的一个法向量为 \boldsymbol{n}=(0,0,1) , 平面 B C E 的法向量为~~~~~~~~~~~~~~~ \\ \boldsymbol{m}=\left(1, \sqrt{3}, \frac{2}{a}\right), \left.\therefore \cos \langle\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}>=| \frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| |\boldsymbol{n} \mid} \right\rvert\,=\frac{\sqrt{2}}{2} , 得 a=1 , 即 O A=1, S_{\triangle B C D}=~~~~~~~\\\frac{1}{2} B D \cdot C D \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} , \therefore V_{A-B C D}=\frac{1}{3} S_{\triangle B C D} \cdot O A=\frac{\sqrt{3}}{6} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.如图, 在直三棱柱 A B C-A_{1} B_{1} C_{1} 中, \angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=2 , A A_{1}=3 . M 是 A B\\ 的中点, N 是 B_{1} C_{1} 的中点, P 是 B C_{1} 与 B_{1} C 的交点. 在线段 A_{1} N 上是否存在点 Q , 使得 ~~~~~~~ \\P Q / / 平面 A_{1} C M ?~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.如图,已知等腰梯形 A B C D, A B=4, C D=6, A D=\sqrt{5}, E, F 分别为 A B, C D 的中~~~~\\点,沿线段 E F 将四边形 A E F D 翻折到四边形 E F N M 的位置,点 P 为线段 N C 上一点,~~~~~~~\\且满足 \overrightarrow{N P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{N C} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明: B P / / 平面 E F M ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)设二面角 M-E F-B 的平面角为 \theta(0<\theta<\pi),在四边形 A E F D 翻折过程中,是~~~~~~\\否存在 \theta ,使得 M F 与平面 E B P 所成角的正弦值为 \frac{3 \sqrt{10}}{10} ,若存在,请说明理由．~~~~~~~~~~~~~~~
8.在 \triangle N B C 中, \angle B=90^{\circ}, A D / / B C, N A=C D=2 A B=2 ,如图将 \triangle N A D 沿 A D 翻~\\折至 \triangle P A D .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明：平面 P B C \perp 平面 P A B ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若二面角 P-A D-B 大小为 120^{\circ} ,
在线段 P D 上是否存在点 E ,使得平面 A B E 与~~~~\\平面 P D C 所成角的余弦值为 \frac{1}{5} ?若存在,确定点 E 的位置;若不存在,说明理由.~~~~~~~~~~~~~
参考辅助线
答案
提示:(1)证明AD\perp面PAB;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) A(0,0,0), P(-1,0, \sqrt{3}), B(1,0,0), D(0,2 \sqrt{3}, 0), C(1,3 \sqrt{3}, 0) ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\overrightarrow{D P}=(-1,-2 \sqrt{3}, \sqrt{3}) ,设 \overrightarrow{D E}=\lambda \overrightarrow{D P}, \lambda \in(0,1) ,\boxed{ \overrightarrow{AE}= \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{D E}},\Rightarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\\overrightarrow{A E}=(-\lambda, 2 \sqrt{3}(1-\lambda), \sqrt{3} \lambda), \overrightarrow{A B}= (1,0,0), \overrightarrow{D C}=(1, \sqrt{3}, 0) ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\设平面 A B E 的法向量为 \vec{m}=(x, y, z) ,平面 P D C 的法向量为 \vec{n}=(a, b, c) ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{A B}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{A E}=0\end{array}\right. ,即 \left\{\begin{array}{c}x=0 \\ -\lambda x+2 \sqrt{3}(1-\lambda) y+\sqrt{3} \lambda z=0\end{array}\right. ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\boxed{令 y=\lambda ,
可得 \vec{m}=(0, \lambda, 2(\lambda-1))},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\同理可得 \vec{n}=(\sqrt{3},-1,-1) ,设平面 A B E 与平面 P D C 的夹角为 \theta , ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\\cos \theta=\frac{|3 \lambda-2|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5 \lambda^{2}-8 \lambda+4}}=\frac{1}{5} ,解得 \lambda=\frac{1}{2} 或 \frac{4}{5} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\所以存在点 E ,当 D E=\frac{1}{2} D P 或 D E=\frac{4}{5} D P 时满足题意.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.如图,在三棱柱 A B C-A_{1} B_{1} C_{1} 中,底面 A B C 是等腰直角三角形,且 A B=A C, ~~~~~~~~\\D, E 分别是 B C, B_{1} C_{1} 的中点,且 A_{1} D \perp 平面 A B C .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明:侧面 B C C_{1} B_{1} 为矩形;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若 A A_{1}=2 A B=4 ,求平面 A_{1} C E 与平面 A C C_{1} A_{1} 的夹角的余弦值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案(2)\frac{\sqrt{6}}{6};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:(1)作BH\perp CD ,\therefore BH\perp 平面ACD.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)解:据(1)知,当且仅当BD = AD时,V_{C - ABD}达到最大,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
设平面BED的法向量为\overrightarrow{n_{1}}=(x,y,z),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
则点B(0,-\frac{3}{2},0),A(0,\frac{3}{2},0),D(\frac{3}{2},0,0),E(0,\frac{1}{2},1),C(0,-\frac{3}{2},3),
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\therefore\overrightarrow{BD}=(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0),
\overrightarrow{BE}=(0,2,1),\Rightarrow\begin{cases}x + y = 0\\2y + z = 0\end{cases},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\法向量为\overrightarrow{n_{1}}=(1,-1,2),因为平面AEB的一个法向量为\overrightarrow{n_{2}}=(1,0,0),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\vert\cos\langle\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}\rangle\vert=\frac{\vert\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}\vert}{\vert\overrightarrow{n_{1}}\vert\cdot\vert\overrightarrow{n_{2}}\vert}=\frac{1}{\sqrt{4 + 1+1}\times1}=\frac{\sqrt{6}}{6}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
11.如图,在四棱雉 P-A B C D 中,底面 A B C D 是梯形, A B / / C D, A B=2 C D=2, ~~~~~~~\\A D=4, \angle B A D= 60^{\circ}, P D \perp C D, E 为 A B 的中点, M 为 C E 的中点．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明: P M \perp A B ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若 P A=\sqrt{15}, N 为 P C 中点,且 A N 与平面 P D M 所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{15}}{6} ,求四棱雉 ~\\ P-A B C D 的体积．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考图象
答案
答案:(1)略;(2)V=2\sqrt{6} ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:(1)AB\perp BD,AB\perp PD.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)
由(1)知, C D \perp 平面 P D M ,建立空间直角坐标系,则 A(2 \sqrt{3},-2,0), C(0,1,0) ,~~~~~~~~
\\设 \boxed{ P(x, 0, z) } ,则 N\left(\frac{x}{2}, \frac{1}{2}, \frac{z}{2}\right), \overrightarrow{A N}=\left(\frac{x}{2}-2 \sqrt{3}, \frac{5}{2}, \frac{z}{2}\right) ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\平面 P D M 的一个法向量为 \vec{n}=(0,1,0) ,设直线 A N 与平面 P D M 所成角为 \theta ,~~~~~~~~~~~~~~~~
\\则 \sin \theta=|\cos <\vec{n}, \overrightarrow{A N}>|=\frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{A N}|}{|\overrightarrow{A N}||\vec{n}|}=\frac{\sqrt{15}}{6} ,化简得 (x-4 \sqrt{3})^{2}+z^{2}=35 ．~~~~~~~~~
\\由 |P A|=\sqrt{15} ,可得 (x-2 \sqrt{3})^{2}+ z^{2}=11 ,求得 x=\sqrt{3}, z=2 \sqrt{2} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\故 V=\frac{1}{3} S_{A B C D} h=\frac{1}{3} \times 3 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{2}=2 \sqrt{6}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
12.如图,在三棱柱 A B C-A_{1} B_{1} C_{1} 中, \angle A C B=90^{\circ}, A_{1} C \perp A B, A C=1, A A_{1}=2 ,~~~~\\ \angle A_{1} A C=60^{\circ} ．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求证:平面 A C C_{1} A_{1} \perp 平面 A B C ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若直线 B A_{1} 与平面 B C C_{1} B_{1} 所成角的正弦值为 \frac{\sqrt{2}}{4} ,求平面 A_{1} A B B_{1} 与平面 B C C_{1} B_{1} \\所成角的余弦值．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
13.如图,四棱雉 V-A B C D 的底面 A B C D 为矩形, B C=2 A B=8, V A=V D=~~~~~~~~~\\2 \sqrt{10}, V B=V C=4 \sqrt{2} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)设平面 V A D 与平面 V B C 的交线为 l ,证明： l / / 平面 A B C D ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若点 M 满足 \overrightarrow{V M}=\frac{2}{3} \overrightarrow{V C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{C B} ,求 M B 与平面 V A D 所成角的正弦值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参考图象
答案
答案:(1)性质定理证明;(2)\frac{1}{4};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:(1)由 A B C D 为矩形,得 A D / / B C ,而 A D \not \subset 平面 V B C ,
B C \subset 平面 V B C ,~~~~~~~~~~~~\\则 A D / / 平面 V B C ,
又平面 V A D \cap 平面 V B C=l, A D \subset 平面 V A D ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
则 A D / / l ,又 l \not \subset 平面 A B C D, A D \subset 平面 A B C D ,
所以 l / / 平面 A B C D .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)先说明建系的条件,建系如图,
V(0,0, \sqrt{15}), A(4,-3,0), B(4,1,0), C(-4,1,0), ~~~~~~~~\\D(-4,-3,0) ,设 M\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) ,
由 \overrightarrow{V M}=\frac{2}{3} \overrightarrow{V C}+\frac{1}{3} \overrightarrow{C B} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\得 \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}-\sqrt{15}\right)=\frac{2}{3}(-4,1,-\sqrt{15})+\frac{1}{3}(8,0,0) ,
得 M\left(0, \frac{2}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right) ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
★或者之间利用 M 为 \triangle \mathrm{VBC} 的重心,直接写坐标.★\\
\overrightarrow{D A}=(8,0,0), \overrightarrow{V A}=(4,-3,-\sqrt{15})
设平面 V A D 的法向量为 \vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) ,~~~~~~~~~\\则 \left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{D A}=8 x_{2}=0 ~\\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{V A}=4 x_{2}-3 y_{2}-\sqrt{15} z_{2}=0\end{array}\right. ,
取 z_{2}=-3 ,得 \vec{n}=(0, \sqrt{15},-3) ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
又 \overrightarrow{B M}=\left(-4,-\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right) ,得到
|\cos \langle\overrightarrow{B M}, \vec{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{B M} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{B M}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{4}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
故 B M 与平面 V A D 所成角的正弦值为 \frac{1}{4} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
