空间向量 – 交互微课

空间向量

空间向量求长度、夹角

观看人数： 64

目录

空间向量基本定理
空间直角坐标系

空间向量基本定理

1.(多选)下列说法中正确的是(\quad )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ A. 已知空间向量 \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} ,则 |\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| 是 \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} 共线的充要条件；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ B. 若 \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C D} 共线, 则 A B / / C D;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ C. A, B, C 三点不共线, 对空间任意一点 O , 若 \overrightarrow{O P}=\frac{3}{4} \overrightarrow{O A}+\frac{1}{8} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{8} \overrightarrow{O C} , 则 P, A , B, C\\四点共面; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ D. 若 P, A, B, C 为空间四点, 且有 \overrightarrow{P A}=\lambda \overrightarrow{P B}+\mu \overrightarrow{P C}(\overrightarrow{P B}, \overrightarrow{P C} 不共线 ) , 则 \lambda +\mu=1 是~~~~\\ A, B, C 三点共线的充要条件.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

答案

答案: CD.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2. 如图, 在平行六面体 A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} 中, A B=2, A D=2, A A^{\prime}=3, \angle B A D=~~~~~~~~\\\angle B A A^{\prime}= \angle D A A^{\prime}=60^{\circ} . 求 (1)求 B C^{\prime} 与 C A^{\prime} 的长;(2) B C^{\prime} 与 C A^{\prime} 的夹角.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

答案

答案:(1)\sqrt{19},3,(2)90^{\circ} ; 提示:(1)设 \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}, ~~~~~~~\\\overrightarrow{A A^{\prime}}=\boldsymbol{c} , 则 \overrightarrow{B C^{\prime}}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} ,\overrightarrow{C A^{\prime}}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\|\overrightarrow{BC^{\prime}}|=\sqrt{19},|\overrightarrow{C A^{\prime}}|=3.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)\overrightarrow{B C^{\prime}} \cdot \overrightarrow{C A^{\prime}}=(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) \cdot(-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) =0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ B C^{\prime} 与 C A^{\prime} 的夹角为90^{\circ}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

3.如图, 正四面体 A B C D 的棱长为 1, E, F , G, H 分别是正四面体 A B C D 中各棱的中点.~~~\\ 求: (1) \overrightarrow{E F} 的模长; (2)求 \overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{G H} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

答案

答案:(1)|\overrightarrow{E F}|=\frac{\sqrt{2}}{2},(2)0;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:(1) \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{c},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \therefore \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{E A}+\overrightarrow{A F} =\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}), \therefore |\overrightarrow{E F}|=\frac{\sqrt{2}}{2} .~~~~~~\\(2) \overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{G H}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot \frac{1}{2}(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=0.~~~~~~~~~~~

4.如图, 二面角 \alpha-l-\beta 的棱上有两个点 A, B , 线段 B D 与 A C 分别在这个二面角的两个~\\面内, 并且都垂直于棱 l . 若 A B=4, A C=6, B D=8, C D=2 \sqrt{17} , 求平面 \alpha 与平面 \beta 的~~\\夹角.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

答案

答案:60^{\circ} ;提示:\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\|\overrightarrow{C D}|^{2}=(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D})^{2} \Rightarrow \cos \langle\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{B D}\rangle=-\frac{1}{2},~ \\\therefore\langle\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{B D}\rangle=120^{\circ}, \therefore \text { 平面 } \alpha \text { 与平面 } \beta \text { 夹角为 } 60^{\circ} \text {. }~

空间直角坐标系

1.如图, 在棱长为 1 的正方体 A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 中, E 为线段 D D_{1} 的中点, F 为线段 B B_{1} \\的中点.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ (1) 求点 A_{1} 到直线 B_{1} E 的距离;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ (2) 求点 A_{1} 到平面 A B_{1} E 的距离;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ (3) 求直线 F C_{1} 到平面 A B_{1} E 的距离.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

答案

答案:(1)\frac{\sqrt{5}}{3},(2)\frac{2}{3},(3)\frac{1}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

2.如图, 三棱锥 A-B C D 中, D A=D B=D C, B D \perp C D , \angle A D B=\angle A D C=60^{\circ}, E 为 \\ B C 的中点. (1)证明: B C \perp D A ; (2)点 F 满足 \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{D A} , 求二面角 D-A B-F 的正弦值.

答案

提示:(1) A E \perp B C, \mathrm{BC} \perp D E, A E \cap D E=E, ~~~~~~~~~~~~~~~\\\Rightarrow B C \perp 面 ADE,\Rightarrow B C \perp AD.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ (2)建系如图， D(\sqrt{2}, 0,0), B(0, \sqrt{2}, 0), A(0,0, \sqrt{2}) ,~~~~~~~~~\\ F(-\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}),\Rightarrow 平面 D A B 的法向量为 \boldsymbol{m}=(1,1,1) .\Rightarrow \\ 平面 A B F 的法向量为 \boldsymbol{n}=(0,1,1) , 所以 \cos \langle\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n}\rangle=\frac{\sqrt{6}}{3},\\ \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

参考辅助线

3.已知一圆形纸片的圆心为 O , 直径 A B=2 , 圆周上有 C, D 两点. 如图, O C \perp A B , ~~~~~~~~~~~\\ \angle A O D=\frac{\pi}{6} , 点 P 是 \stackrel\frown{BD} 上的动点沿 A B 将纸片折为直二面角, 并连接 P O, P D , P C, C D .\\ (1)当 A B / / 平面 P C D 时, 求 P D 的长;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ (2)当三棱锥 P-C O D 的体积最大时, 求平面 O P D 与平面 C P D 夹角的余弦值.~~~~~~~~~~~~~~~~

参考辅助线

答案

提示: (1)因为 A B / / 平面 P C D, \Rightarrow A B / / P D, \Rightarrow \angle P O D=\frac{2 \pi}{3}, \Rightarrow P D=\sqrt{3};~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ (2) 由题意知 O C \perp 平面 P O D , 且 O D \perp O P 时, 三棱雉 P-C O D 的体积最大.建系如图~~\\所示,则 C(1,0,0), D(0,0,1), P(0,1,0) , 故 \overrightarrow{P C}=(1,-1,0), \overrightarrow{D P}=(0,1,-1), \Rightarrow~~~~~~~~~~~~~~~ \\平面 C P D 的一个法向量为 \boldsymbol{n}_{1}=(1,1,1), \Rightarrow 平面 O P D 的一个法向量为 \boldsymbol{n}_{2}=(1,0,0) ,~~~~\\ \Rightarrow \cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}\right\rangle=\frac{\sqrt{3}}{3} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

4.如图，四棱雉 P-A B C D 中， P A \perp 底面 A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3} .\\ (1) 若 A D \perp P B ，证明: A D / / 平面 P B C ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ (2) 若 A D \perp D C ，且二面角 A-C P-D 的正弦值为 \frac{\sqrt{42}}{7} ，求 A D .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

参考辅助线

参考辅助线

答案

法一、几何法.在底面ABCD中作DE\perp AC 于点E,作EM\perp PC,连接DM,则\angle DME~ \\为二面角 A-C P-D 的平面角\theta ,设EC=t,则EM=\frac{\sqrt{2}t }{2} ,DE=\sqrt{t(2-t)} ,\tan \theta =~~\\\frac{DE}{EM} =\sqrt{6},\Rightarrow t=\frac{1}{2} ,\Rightarrow AD=\sqrt{3}. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

法二、坐标法.建系如图,设AD=t,则A(t,0,0),P(t,0,2),C(0,\sqrt{4-t^2},0 ),\Rightarrow 平面APC\\的法向量\overrightarrow{ n_1}=(1,\frac{t}{\sqrt{4-t^2} } ,0),平面CDP的法向量\overrightarrow{ n_2}=(-2,0,t),\cos <\overrightarrow{ n_1},\overrightarrow{ n_2}>=\frac{\sqrt{7} }{7} ,\\\Rightarrow AD=\sqrt{3} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

5.如图, 在三棱锥 A-B C D 中, 平面 A B D \perp 平面 B C D , A B=A D, O 为 B D 的中点.~~~~~~~\\ (1)证明: O A \perp C D ; (2)若 \triangle O C D 是边长为 1 的等边三角形, 点 E 在棱 A D 上, D E=2 E A ,\\ 且二面角 E-B C-D 的大小为 45^{\circ} , 求三棱锥 A-B C D 的体积.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

参考辅助线

参考辅助线

答案

方法一、如图, 过点 E 作 E F / / A O , 交 B D 于 F , 过点 F 作 F G \perp B C , 垂足为 G ,连接 E G ,~~\\ \angle E G F=45^{\circ} , 则 G F=E F 由 D E=2 E A ,\therefore E F=\frac{2}{3} O A, D F=2 O F, \therefore \frac{B F}{F D}=2 .~~~~~~~ \\\therefore G F=\frac{2}{3}, \therefore E F=G F=\frac{2}{3}, \therefore O A=1, \therefore V_{A-B C D}=\frac{1}{3} S_{\triangle B C D} \cdot A O =\frac{\sqrt{3}}{6} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~

方法二、建系如图， B(1,0,0), D(-1,0,0), C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) . 设 A(0 ， 0, a), a>0, ~~~~~~~~~\\E\left(-\frac{1}{3}, 0, \frac{2 a}{3}\right) . 平面 B C D 的一个法向量为 \boldsymbol{n}=(0,0,1) , 平面 B C E 的法向量为~~~~~~~~~~~~~~~ \\ \boldsymbol{m}=\left(1, \sqrt{3}, \frac{2}{a}\right), \left.\therefore \cos \langle\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}>=| \frac{\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{m}| |\boldsymbol{n} \mid} \right\rvert\,=\frac{\sqrt{2}}{2} , 得 a=1 , 即 O A=1, S_{\triangle B C D}=~~~~~~~\\\frac{1}{2} B D \cdot C D \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} , \therefore V_{A-B C D}=\frac{1}{3} S_{\triangle B C D} \cdot O A=\frac{\sqrt{3}}{6} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

6.如图, 在直三棱柱 A B C-A_{1} B_{1} C_{1} 中, \angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=2 , A A_{1}=3 . M 是 A B\\ 的中点, N 是 B_{1} C_{1} 的中点, P 是 B C_{1} 与 B_{1} C 的交点. 在线段 A_{1} N 上是否存在点 Q , 使得 ~~~~~~~ \\P Q / / 平面 A_{1} C M ?~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

答案

答案:存在Q，Q为靠近N的三等分点;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:设\overrightarrow{A_1Q}=\lambda \overrightarrow{A_1N},\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA_1}+\overrightarrow{A_1Q}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~

留下评论取消回复

要发表评论，您必须先登录。