数列经典题目

高考真题、典型问题

题目

(2021 全国乙卷)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\记  S_{n}  为数列  \left\{a_{n}\right\}  的前  n  项和,  b_{n}  为数列  \left\{S_{n}\right\}  的前  n  项积,已知  \frac{2}{S_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明: 数列  \left\{b_{n}\right\}  是等差数列;
(2)求  \left\{a_{n}\right\}  的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

(1)  \left\{b_{n}\right\}  是以  \frac{3}{2}  为首项,  \frac{1}{2}  为公差的等差数列.
(2)  a_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}, n=1, \\ -\frac{1}{n(n+1)}, n \geqslant 2 .\end{array}\right. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

(2023新高考 1 卷) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\设等差数列  \left\{a_{n}\right\}  的公差为  d , 且  d>1 . 令  b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}} , 记  S_{n}, T_{n}  分别为数列  \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}  的\\前  n  项和.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)若  3 a_{2}=3 a_{1}+a_{3}, S_{3}+T_{3}=21 , 求  \left\{a_{n}\right\}  的通项公式;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若  \left\{b_{n}\right\}  为等差数列, 且  S_{99}-T_{99}=99 , 求  d .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

(1)  a_{n}=3 n;(2) d=\frac{51}{50} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

图中的数阵满足: 每一行从左到右成等差数列, 每一列从上到下成等比数列, 且~~~~~~~~~~\\公比均为实数  q, ~~a_{1,1}>0, a_{1,3}=5, a_{2,2}=-6,a_{4,2}^{2}=a_{7,5}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\begin{matrix}
  &a_{1,1}  &a_{1,2}  &a_{1,3}  &\cdots   &a_{1,n}&\cdots\\
  &a_{2,1}  &a_{2,2}  &a_{2,3}  &\cdots   &a_{2,n}&\cdots\\
  &a_{3,1}  &a_{3,2}  &a_{3,3}  &\cdots   &a_{3,n}&\cdots\\
  &\cdots   &  &  &  & \\
  &a_{n,1}  &a_{n,2}  &a_{n,3}  &\cdots   &a_{n,n}&\cdots\\
  &\cdots   &  &  &  &
\end{matrix}\\
(1)设b_n=a_{n,n},求数列\left \{b_n  \right \} 的通项公式;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)设S_n=a_{1,1}+a_{2,1}+\cdots+a_{n,1},是否存在实数\lambda ,使a_{n,1}\le\lambda S_n恒成立,若存在,~~~~~~~~~~\\求出\lambda 的所有值,若不存在,说明理由.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案

答案:\lambda = \frac{3}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

有n^2(n\ge 4)个正数,排成n\times n矩阵(n行n列的数表):~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\begin{pmatrix}  
  a_{11}& a_{12}& \cdots  & a_{1n} \\  
  a_{21}& a_{22}& \cdots  & a_{2n} \\  
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  
  a_{n1}& a_{n2}& \cdots  & a_{nn}  
\end{pmatrix}  \\
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比都相等,已知\\a_{24}=1,a_{42}=\frac{1}{8} ,a_{43}=\frac{3}{16}
(1)求公比q;(2)用k表示a_{4k};(3)求a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.~~~~~~~~~~
答案

答案:(1)q=\frac{1}{2};(2)a_{4k}=\frac{k}{16};(3)S=2-\frac{n+2}{2^n}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~