观看人数： 267
题目
(2021 全国乙卷)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\记 S_{n} 为数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和, b_{n} 为数列 \left\{S_{n}\right\} 的前 n 项积,已知 \frac{2}{S_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)证明: 数列 \left\{b_{n}\right\} 是等差数列;
(2)求 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1) \left\{b_{n}\right\} 是以 \frac{3}{2} 为首项， \frac{1}{2} 为公差的等差数列.
(2) a_{n}=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{3}{2}, n=1, \\ -\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}, n \geqslant 2 .\end{array}\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:S_n=\frac{b_n}{b_{n-1}}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2023新高考 1 卷) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\设等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的公差为 d , 且 d>1 . 令 b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}} , 记 S_{n}, T_{n} 分别为数列 \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} 的\\前 n 项和.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)若 3 a_{2}=3 a_{1}+a_{3}, S_{3}+T_{3}=21 , 求 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)若 \left\{b_{n}\right\} 为等差数列, 且 S_{99}-T_{99}=99 , 求 d .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1) a_{n}=3 n；(2) d=\frac{51}{50} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
图中的数阵满足: 每一行从左到右成等差数列, 每一列从上到下成等比数列, 且~~~~~~~~~~\\公比均为实数 q, ~~a_{1,1}>0, a_{1,3}=5, a_{2,2}=-6,a_{4,2}^{2}=a_{7,5}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\begin{matrix}
&a_{1,1} &a_{1,2} &a_{1,3} &\cdots &a_{1,n}&\cdots\\
&a_{2,1} &a_{2,2} &a_{2,3} &\cdots &a_{2,n}&\cdots\\
&a_{3,1} &a_{3,2} &a_{3,3} &\cdots &a_{3,n}&\cdots\\
&\cdots & & & & \\
&a_{n,1} &a_{n,2} &a_{n,3} &\cdots &a_{n,n}&\cdots\\
&\cdots & & & &
\end{matrix}\\
(1)设b_n=a_{n,n},求数列\left \{b_n \right \} 的通项公式；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)设S_n=a_{1,1}+a_{2,1}+\cdots+a_{n,1},是否存在实数\lambda ,使a_{n,1}\le\lambda S_n恒成立，若存在,~~~~~~~~~~\\求出\lambda 的所有值，若不存在，说明理由.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：\lambda = \frac{3}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
有n^2(n\ge 4)个正数，排成n\times n矩阵(n行n列的数表)：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix} \\
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知\\a_{24}=1,a_{42}=\frac{1}{8} ,a_{43}=\frac{3}{16}
(1)求公比q;(2)用k表示a_{4k};(3)求a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.~~~~~~~~~~答案
答案：(1)q=\frac{1}{2};(2)a_{4k}=\frac{k}{16};(3)S=2-\frac{n+2}{2^n}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
