观看人数： 102
1. 若已知f^{\prime}(x)+f(x) , 构造函数 F(x)=e^{x} f(x);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2.若 已知 f^{\prime}(x)-f(x)，构造函数 F(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.若已知x f^{\prime}(x)+f(x),构造函数 F(x)=x f(x) ；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4.若 已知 x f^{\prime}(x)-f(x) , 构造函数 F(x)=\frac{f(x)}{x}(x \neq 0)；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~5.若已知f^{\prime}(x) \sin x+f(x) \cos x , 构造函数 F(x)=f(x) \sin x;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~6.若已知f^{\prime}(x) \sin x-f(x) \cos x ,构造函数 F(x)=\frac{f(x)}{\sin x};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~7.若已知 f^{\prime}(x) \cos x-f(x) \sin x , 构造函数 F(x)=f(x) \cos x ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8.若已知f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x , 构造函数 F(x)=\frac{f(x)}{\cos x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~题目
练习1：函数f(x)的导函数为{f}'(x),对任意的x>0,都有{f}'(x)>\frac{2}{x}, 且f(e)=3,求不等\\式f(x)>2\ln x+1的解集.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(e,+\infty);提示:构造F(x)=f(x)-2\ln x
-1,F'(x)>0,F(e)=0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习2：已知函数f(x)及其导数{f}'(x)定义域都是R，且f(x)-{f}'(x)>0,f(0)=1,求~~~\\不等式f(x)>e^x的解集.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(-\infty,0);提示:构造F(x)=\frac{f(x)}{e^x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习3：设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，{f}'(x)g(x)-~~~~\\f(x){g}'(x)>0,且f(3)=0,g(x)\ne 0,求不等式f(x)g(x)>0的解集。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(-3,0)\cup (3,+\infty );提示:构造F(x)=\frac{f(x)}{g(x)},f(x)g(x)>0与\frac{f(x)}{g(x)}>0同解.~~~~~~~~~
巩固
4.定义在 \left(0, \frac{\pi}{2}\right) 上的函数 f(x) 的导函数为 f^{\prime}(x) , 且恒有 \cos x \cdot f^{\prime}(x)+\sin x \cdot f(x)<0 ~~\\ 成立, 则下列选项正确的是 (\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\
A. f\left(\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{4}\right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
B. \sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{6}\right)>f\left(\frac{\pi}{3}\right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
C. f\left(\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{3}\right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
D. \sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{6}\right)>\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{4}\right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
答案
答案：CD;提示：构造函数F(x)=\frac{f(x)}{\cos x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知 f(x) 在 \mathrm{R} 上是奇函数, 且 f^{\prime}(x) 为 f(x) 的导函数, 对任意 x \in \mathrm{R} , 均有 f(x)>\frac{f^{\prime}(x)}{\ln 2} ~~~~\\成立,若 f(-2)=2 , 则不等式 f(x)>-2^{x-1} 的解集为 (\quad) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. (-2,+\infty) ~~~~~~
B. (2,+\infty) ~~~~~~
C. (-\infty,-2) ~~~~~~
D. (-\infty, 2) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：D；提示：构造函数F(x)=\frac{f(x)}{2^x}+\frac{1}{2},f(2)=-2,F(2)=0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.定义在 (0,+\infty) 上的函数 f(x) 满足 2 f(x)+x f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}, f(1)=0 （ 若 f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} , ~~~~~~~~\\则 f(x)= \ln x+c, c 为常数), 比较 f(1), f(\sqrt{2}), f(\sqrt{3}) 的大小~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：f(1)< f(\sqrt{2})< f(\sqrt{3});提示：由2 f(x)+x f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}得2 xf(x)+x ^2f^{\prime}(x)=\frac{1}{x},\\构造F(x)=x^2f(x)=\ln x,所以f(x)=\frac{\ln x}{x^2},且f(\sqrt{2})=f(2).由单调性可推得.~~~~~~~~~~~~~
7. 已知 f(x) 是定义在 (-\infty, 0) \cup(0,+\infty) 上的奇函数, 当 x>0 时, f(x)+x f^{\prime}(x)>0 且 ~~~~~\\ f(2)=\frac{1}{2} , 则不等式 f(x)>\frac{1}{x} 的解集是 (~~~~~~ )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. (-2,0) \cup(0,2) ~~~
B. (-\infty,-2) \cup(2,+\infty) ~~~
C. (-\infty,-2)\cup (0,2) ~~~
D. (-2,0) \cup (2,+\infty) 答案
答案：D；提示：要解f(x)>\frac{1}{x} ，只需解\frac{xf(x)-1}{x}>0,构造F(x)=xf(x)-1,~~~~~~~~~\\则F(x)为偶函数，在(0,\infty)单增。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.已知定义在 \mathbf{R} 上的函数 f(x) 的导函数为 f^{\prime}(x) , 当 x>0 时, x f^{\prime}(x)-f(x)>0 , 若~~~~~~~~~~~ \\ a=f(1), b=\frac{f(2)}{2}, c=2 f\left(\frac{1}{2}\right) , 求 a, b, c 的大小关系.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案: c< a< b ;提示：构造函数 g(x)=\frac{f(x)}{x}(x>0) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9. 已知函数 f(x) 的导函数为f^{\prime}(x) , 且 f(x)+f^{\prime}(x)>0 在 \mathbf{R} 上恒成立, 求不等式 ~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\mathrm{e}^{2 x+1} f(2 x+1)>\mathrm{e}^{3-x} f(3-x) 的解集.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:\left(\frac{2}{3},+\infty\right) ;
解析: 令 g(x)=\mathrm{e}^{x} f(x) ,g^{\prime}(x)>0,只需解 g(2 x+1)>g(3-x) .~~~~~~~~~
10. f(x) 为定义在 \mathbf{R} 上的可导函数, 且 f^{\prime}(x)>f(x) , 对任意正实数 a , 下列式子一定成立~~\\的是(~~ )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. f(a)<\mathrm{e}^{a} f(0)
\text~~~ { B. } f(a)>\mathrm{e}^{a} f(0)~~~
C. f(a)<\frac{f(0)}{\mathrm{e}^{a}}
~~~D. f(a)>\frac{f(0)}{\mathrm{e}^{a}}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:B;
提示：构造函数 g(x)=\frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
11.\forall x \in(0, \pi) , 有 f^{\prime}(x) \sin x>f(x) \cos x , 设 a=2 f\left(\frac{\pi}{6}\right), b=\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{4}\right), c=f\left(\frac{\pi}{2}\right) ,~~~~\\则 a, b, c 的大小关系为 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案： a< b< c ；提示： 构造函数 F(x)=\frac{f(x)}{\sin x} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
