观看人数： 121
函数的隐零点问题
1.函数f(x)=e^x-ln(x+m),当m<2时，求证f(x)>0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习：已知函数f(x)=-x+\ln x+1,g(x)=xe^x-2x,求证：f(x)\le g(x).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
\exists x_0\in (\frac{1}{2},1),\frac{1}{x_0}=e^{x_0},\therefore x_0e^{x_0}=1,-\ln x_0=x_0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\therefore F(x)\le F(x_0)=\ln x_0+1-x_0e^{x_0}+x_0=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
双变量问题
2.已知函数f(x)=mx\ln x+x^2,m\ne 0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(1)若m=-2,求函数f(x)的单调区间；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)若f(x_1)=f(x_2)=0,且x_1\ne x_2,证明：\ln x_1+\ln x_2>2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式：已知函数 f(x)=\ln x-a x(x>0), a 为常数, 若函数 f(x) 有两个零点 x_{1}, x_{2}~~~~~~~~~~~~\\\left(x_{1} \neq x_{2}\right) ,
求证: x_{1} x_{2}>\mathrm{e}^{2} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
提示：设两零点x_{1}>x_{2}>0,\left\{\begin{matrix}
\ln x_1=ax_1 & \\
\ln x_2=ax_2 &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\ln x_{1}+\ln x_{2}=a\left(x_{1}+x_{2}\right) & \\
\ln x_{1}-\ln x_{2}=a\left(x_{1}-x_{2}\right) &
\end{matrix}\right.\Rightarrow~~~~~~~~\\\frac{\ln x_{1}+\ln x_{2}}{\ln x_{1}-\ln x_{2}} =\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2} \Rightarrow\frac{\ln x_1x_2}{\ln \frac{x_1}{x_2}}=\frac{\frac{x_1}{x_2}+1}{\frac{x_1}{x_2}-1},\Rightarrow \ln x_1x_2=\frac{\frac{x_1}{x_2}+1}{\frac{x_1}{x_2}-1}\cdot\ln \frac{x_1}{x_2} ,由x_1x_2>e^2,\\\ln x_1x_2>2,令 t=\frac{x_{1}}{x_{2}}(t>1) ,
则不等式变为 \ln t>\frac{2(t-1)}{t+1} .
令 h(t)=\ln t-\frac{2(t-1)}{t+1} ,~~~~~\\
h(t)>h(1)=\ln 1-0=0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
函数的隐零点问题，同构
3.已知函数f(x)=xe^x-\ln x-1,若f(x)\ge mx恒成立，求实数m的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~
答案
m\le1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习1.若关于x的方程m+e\ln m=\frac{x}{e^x}+e(\ln x-x)有解，求m的最大值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:\frac{1}{e};提示：左=m+e\ln m=e^{\ln m}+e\ln m;右=\frac{e^{\ln x}}{e^x}+e(\ln x-x)=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\e^{\ln x-x}+e(\ln x-x),\therefore \ln m=\ln x-x,\therefore\ln m\le-1,\therefore m\le\frac{1}{e}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习2：已知函数 f(x)=e^{2 a x}-3 \ln x , 若 f(x)>x^{3}-2 a x 恒成立, 则实数 a 的取值范围~~~\\为 (~~~~ )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \left(0, \frac{3}{2 e}\right) ~~~~
B. \left(\frac{3}{2 e},+\infty\right) ~~~~
C. \left(0, \frac{3}{e}\right) ~~~~
D. \left(\frac{3}{e},+\infty\right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：B；提示：f(x)=e^{2 a x}-3 \ln x>x^3-2ax,\therefore e^{2 a x}+2ax>x^3+\ln x^3,~~~~~~~~~~~~~~~~\\\because x^3=e^{\ln x^3},\therefore e^{2 a x}+2ax>e^{\ln x^3}+\ln x^3(同构)，y=e^t+t单增，\therefore2ax>\ln x^3,~~~~~~~\\\therefore 2a>\frac{3\ln x}{x},a>\frac{3}{2e}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习3.若不等式ae^{2x}+x+\ln a\ge\ln x对任意x\in (0,+\infty)成立，求实数a 的取值范围.~~~~答案
答案：a\ge\frac{1}{2e}；提示：左=e^{\ln a}e^{2x}+x+\ln a=e^{2x+\ln a}+x+\ln a\ge \ln x,两边加x~~~~~~\\得，e^{2x+\ln a}+2x+\ln a\ge x+\ln x=e^{\ln x}+\ln x,构造函数y=e^x+x,单增,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\therefore2x+\ln a\ge\ln x,\therefore \ln a\ge\ln x-2x,a\ge\frac{1}{2e}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
参数范围、 洛必达法则
4.已知函数f(x)=m\ln x-2x^2(m\in R).若对\forall x\in (1,+\infty),不等式f(x)<-2恒成立，\\求实数m的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
m\le4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习1：已知e^x+\sin x\ge ax+1对任意x\in [0,+\infty)恒成立，求实数a的范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案：
答案：a\le 2;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示：法一、分离参量。当 x=0 时, 显然成立;当x>0时，
a\le \frac{e^x+\sin x -1}{x}=f(x),\\只需求f(x)_{min}, f^{\prime}(x)= \frac{(x-1) e^{x}+x \cos x-\sin x+1}{x^{2}} , 令分子为~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
g(x)=(x-1) e^{x}+x \cos x-\sin x+1 , 下面判断g(x)的正负，观察端点值g(0)=0,又 ~~\\ g^{\prime} (x)=x e^{x}-x \sin x=x\left(e^{x}-\sin x\right) , 因为 x>0 ,所以 所以 g^{\prime}(x)>0 , 所以 g(x) 在~~~~~~~~~~ \\ (0 , +\infty) 上单调递增, 所以 g(x)>g(0)=0, 所以 f^{\prime}(x)> 0 , 所以 f(x) 在 (0,+\infty) 上单调~~~~\\递增, 由洛必达法则知
g(0)=\frac{{(e^x+\sin x -1)}'}{{x}'}|_{x=0}=2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\法二、数形结合，画左侧函数f(x)=e^x+sinx图象，右侧图象g(x)=ax+1~过定点.
练习2：已知函数 f(x)=x\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)-a x^{2}(a \in \mathbf{R}) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(1) 若 f(x) 在 x=-1 处有极值, 求 a 的值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)当 x>0 时, f(x) \geqslant 0 , 求实数 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1) a=\frac{1}{2} . (2) a \leqslant 1 ；提示： a \leqslant \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x} 恒成立, 令 h(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}(x>0), ~~~~~~~~~~~~~~\\h(x) 在 (0,+\infty) 上单增,由洛必达法则知, \lim _{x \rightarrow 0} h(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\mathrm{e}^{x}-1)'}{x'}=\lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{x}=1, \therefore a \leqslant 1 .
极值点偏移
5.已知函数f(x)=xe^{-x},若x_1\ne x_2,且f(x_1)=f(x_2),求证：x_1+x_2>2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~提示
要证x_1+x_2>2,只需证x_2>2-x_1,因f(x)在(1,+\infty)上单减，只需证~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
f(x_2)<f(2-x_1),又因f(x_1)=f(x_2),只需证f(x_1)<f(2-x_1),转化为~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\函数只需证F(x)=f(x)-f(2-x)<0恒成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习：已知函数f(x)=x\ln x的图象与直线y=m交于不同的两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2).~\\
(1)求m的取值范围；(2)求证：x_1x_2<\frac{1}{e^2} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)(-\frac{1}{e},0);(2)请观看微课.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
端点效应
6.已知函数f(x)=a\ln x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}(a\in R).若f(x)\ge0在区间[1,+\infty)上恒成立，求a~~\\的最小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
a=-1；提示：a\ge \frac{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2} }{\ln x} =g(x),{g}'(x)= \frac{-x\ln x+\frac{x}{2}-\frac{1}{2x} }{(\ln x)^2} ,分子{h}'(x)单减且~~~~~\\{h}'(1)=0,\therefore x>1时,{h}'(x)<0,\therefore h(x)单减且h(1)=0,\therefore x>1时，h(x)<0，~~~~~~~~~~~\\\therefore {g}'(x)<0. \therefore g(x)单减，~~~\therefore g(x)\ge g(1)=-1.(洛必达法则)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~练习1： 已知函数 f(x)=\ln x-a(x-1), a \in \mathbf{R}, x \in[1,+\infty) , 且 f(x) \leqslant \frac{\ln x}{x+1} 恒成立,~~~\\求 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案： \left[\frac{1}{2},+\infty\right) ;提示:解 f(x)-\frac{\ln x}{x+1}=\frac{x \ln x-a\left(x^{2}-1\right)}{x+1} , 令分子部分为~~~~~~~~~~~~~~~ \\g(x)=x \ln x-a\left(x^{2}-1\right)(x \geqslant 1) , 则 g^{\prime}(x)=\ln x+1-2 a x , 令 F(x)=g^{\prime}(x)=~~~~~~~~~~~~~~\\\ln x+1-2 a x, F^{\prime}(x)=\frac{1-2 a x}{x} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(1)若 a \leqslant 0, g(x) \geqslant g(1)=0 , ，不符合题意.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)若 0 < a < \frac{1}{2}, g(x) \geqslant g(1)=0 , 不符合题意.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(3)若 a \geqslant \frac{1}{2}, \therefore g(x) 在 [1,+\infty) 上单调递减, 从而 g(x) \leqslant g(1)=0 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\综上, a 的取值范围是 \left[\frac{1}{2},+\infty\right) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
