观看人数： 595
幂函数、分式函数等
1.观察图象，说说m,n的正负、奇偶对幂函数y=x^{\frac{n}{m}}图象的影响。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
1.\frac{n}{m}>0,函数在第一象限单增,\frac{n}{m}<0,函数在第一象限单减。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\2.n为奇数,m为偶数时为非奇非偶函数；m为奇数,n为偶数时为偶函数；n为奇数,~~~~~~\\m为奇数时为奇函数。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.幂函数f(x)=(m^2+m-5)x^{m^2+2m-5}在区间(0,+\infty)上单增，求f(3)的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：27；提示：幂函数y=x^a的系数为1，在区间(0,+\infty)上单增，则a>0.~~~~~~~~~~~~~~
3.设函数 f(x)=\frac{a x+1}{x+2 a} 在区间 (-2,+\infty) 上是增函数，求 a 的范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a\ge 1;提示：f(x)=a+\frac{-2a^2+1}{x+2a},\therefore \left\{\begin{matrix}
-2a\le -2 & \\
-2a^2+1< 0&
\end{matrix}\right.,\therefore a\ge 1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知实数 a, b 满足 3^{a}=4^{b} ,则下列不等式可能成立的是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. b < a < 0 \quad
B. 2 b< a< 0 \quad
C. 0< a< b \quad
D. 0< 2 b< a ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:B;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\法一、取对数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\a\ln3 = b\ln4,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore\frac{a}{b}=\frac{\ln4}{\ln3}>1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
① a>0,b>0\Rightarrow a > b>0~~\\
② a<0,b<0\Rightarrow a < b<0~~\\
又\because a\ln3 = 2b\cdot\ln2~~~~~~~~~~~~~\\
\therefore0<\frac{a}{2b}=\frac{\ln2}{\ln3}<1~~~~~~~~~~~~~\\
③ a>0,b>0\Rightarrow0 < a < 2b\\
④ a<0,b<0\Rightarrow2b < a < 0
对数不等式
1.若方程 4^{x}=\log _{\alpha} x 在 \left[0, \frac{1}{2}\right] 上有解,求实数 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(0,\frac{\sqrt{2}}{2}];根据图象可得\log_a\frac{1}{2}\le2,解对数不等式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x^{2}, x \geqslant 0, \\ -2 x^{2}, x<0,\end{array}\right. 求不等式 f\left(\left(\log _{2} x\right)^{2}-3\right)<4 f\left(\log _{2} x\right) 的解集.~~~~~答案
答案：\left(\frac{1}{2}, 8\right) ；提示：此函数满足4f(t)=f(2t)，原式\Rightarrow f\left(\left(\log _{2} x\right)^{2}-3\right)<~~~~~~~~~~~~ \\f\left(2\log _{2} x\right) ,由 f(x)图象可知f(x)单增,\therefore \left(\log _{2} x\right)^{2}-3<2\log _{2} x,\Rightarrow-1<\log_2x<3.~~~
3.求函数 f(x)=\sqrt{\log _{0.5}(2 x-1)} 的定义域.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(\frac{1}{2},1];提示：\log _{0.5}(2 x-1)\ge0,且2x-1>0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知函数 f(x) 是定义在 \mathbf{R} 上的偶函数, 当 x \leqslant 0 时, f(x) 单调递减, 求不等式~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ f\left(\log _{\frac{1}{3}}(2 x-5)\right)>f\left(\log _{3} 8\right) 的解集.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：\left\{x \left\lvert\, \frac{5}{2}< x< \frac{41}{16}\right.\right. 或 \left.x >\frac{13}{2}\right\} ;提示：|\log _{\frac{1}{3}}(2 x-5)|>|\log _{3} 8 |.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
比较大小
1.若 a=1.01^{0.5}, b=1.01^{0.6}, c=0.6^{0.5} , 则a, b, c 从小到大的顺序.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：b>a>c;提示：由函数f(x)=1.01^x,\Rightarrow a< b;由函数f(x)=x^{0.5},\Rightarrow a>c.~~~~~
2.比较\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{4}}与\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}} 的大小.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{4}}<\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}} ;提示：法一、插入中间数\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{3}}或\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{4}};法二、两边取~~~~~~~\\对数，只需证\ln\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{4}}<\ln\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}},利用函数f(x)=\frac{\ln x}{x}的单调性.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.比较\pi^3与3^\pi的大小.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：\pi^3<3^\pi;提示：仿照上题取中间量3^3或\pi^{\pi}都行不通！可以两边取对数。要证~~~~~\\\pi^3<3^\pi，只需\ln \pi^3<\ln3^\pi,即3\ln \pi<\pi\ln3,只需\frac{\ln{\pi}}{\pi}<\frac{\ln{3}}{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~4.比较\log_32与\log_43的大小.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：\log_32>\log_43;提示：法一、两数作比得\frac{\ln2}{\ln3}\cdot\frac{\ln4}{\ln3}，分子\ln2\cdot\ln4\le~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(\frac{\ln2+\ln4}{2})^2=(\frac{\ln8}{2})^2=(\ln \sqrt8)^2<(\ln3)^2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知实数m,n,p \in (0,1),且m = \ln\frac{m}{2} + 2,n = \ln\frac{n}{2} + 3,p = \ln\frac{p}{3} + 3,则(\quad)~~~~~~~~~~~~\\
A. p \lt n \lt m \quad B. n \lt m \lt p \quad C. m \lt p \lt n \quad D. n \lt p \lt m~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:D;提示:\begin{cases}m - \ln m = 2 - \ln 2 \\ n - \ln n = 3 - \ln 2 \\ p - \ln p = 3 - \ln 3 \end{cases} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\结合图象可得D .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
