观看人数： 191
函数的单调性
1.（多选）选出正确的选项(~~~~~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A.对于函数 y=f(x) , 若 f(1)< f(3) , 则 f(x) 为 (1,3) 的增函数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
B.函数 f(x) 的定义域为 I , 区间 D \subseteq I , 若 \forall x_{1}, x_{2} \in D , 当 x_{1}< x_{2} 时, 都有 f\left(x_{1}\right)< f\left(x_{2}\right) ,\\那么就称函数 f(x) 在区间 D 上单调递增.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
C.函数 f(x), x \in D , 若对任意 x_{1}, x_{2} \in D , 且 x_{1} \neq x_{2} 有 \left(x_{1}-x_{2}\right)\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right]>0 ,~~~~~\\则函数 f(x) 在区间 D 上是增函数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
D.函数 f(x), x \in D , 若对任意 x_{1}, x_{2} \in D , 且 x_{1} \neq x_{2}, 有 \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0,则函数 f(x)~~ \\在区间 D 上是增函数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
E.函数 f(x), g(x) 的定义域都为 \mathbf{R} , 且 f(x)>0, g(x)>0, f(x) 是增函数, g(x) 是增函数, ~~\\则 g(x)+f(x) 是增函数, f(x) g(x) 也是增函数.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：BE.提示：E中{[f(x) g(x)]}' >0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.画下列函数的图象，并求单调区间.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(1)y=|x-2|;(2)y=\frac{-2}{x-1}+1;(3)y=|x^2+2x-3|;(4)y=x^2+2|x|-3;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(5)y=x-\frac{1}{x};(6)y=\frac{\ln x}{x};(7)y=\frac{x}{1+|x|}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
提示：题(4)为偶函数；题(7)为奇函数，x>0时，f(x)=y=\frac{x}{1+x}=1-\frac{1}{1+x}.~~~~~~
3.(1)求函数y=\log_{0.5}(|x|-1)的单调递减区间;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)y=\log _{\frac{1}{3}}\left(-x^{2}+4 x-3\right) 的单调递增区间；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)已知函数 f(x)=\ln \left(x^{2}-3 x-4\right) 在 (a,+\infty) 上单调递增, 求 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(4)已知 f(x)=\ln \left(x^{2}-a x+2 a-2\right)(a>0) , 若 f(x) 在 [1,2) 上单调, 求 a 的范围.~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：(1)(1,+\infty);(2)[2,3)提示：先求定义域，根据复合函数单调性;(3)[4,+\infty);~~~~~~~\\(4)(1,2] \cup[4,+\infty) ;提示：对称轴x=\frac{a}{2},令g(x)=x^{2}-a x+2 a-2,只需满足~~~~~~~~~~~~~\\ \left\{\begin{matrix}
0< \displaystyle\frac{a}{2}\le 1 & \\
g(1)> 0 &
\end{matrix}\right.或\left\{\begin{matrix}
\displaystyle\frac{a}{2}\ge 2 & \\
g(2)\ge 0 &
\end{matrix}\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知f(x)=x^2-2x-3,g(x)=f(5-x^2),求g(x)的单调区间.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：单增区间为(-2,0),(2,+\infty);单减区间为(-\infty，-2),(0,2).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示：复合函数表示为g(x)=f(t),t=5-x^2,对于f(t),t<1时，f(t)减，t>1时，~~\\f(t)增，函数t=5-x^2在t>1和t<1时的单调性是显然的，由复合函数单调性可解.
5.已知函数y=9^x+m\cdot 3^x-3在区间[-2,2]上单调递减，求m的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：(-\infty,-18];提示：令t=3^x,\therefore t\in [\frac{1}{9},9]，且单增。t\in [\frac{1}{9},9]应在函数~~~~~~~~~~~~~~~~~\\y=t^2+mt-3的单调递减区间上，\therefore对称轴x=-\frac{m}{2}\ge9.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.函数f(x)是R上的减函数，若y=f(ax^2-2x)在(1,+\infty)上是增函数，求a的范围.~~~~~
答案
答案：a\le 0;提示：只需t=ax^2-2x在(1,+\infty)上是减函数，讨论a=0,a>0,a<0.
7.函数 y=f(x) 是定义在 [-2,2] 上的减函数, 且 f(a+1)< f(2 a) , 求实数 a 的取值范围.
答案
答案:[-1,1) ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.已知函数 f(x)=\ln x+2^{x} , 若 f\left(x^{2}-4\right)<2 ,求实数 x 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(-\sqrt{5},-2) \cup(2, \sqrt{5}) ;提示：不等式转化为 f\left(x^{2}-4\right)<f(1).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-2 x, x \geqslant 0, \\ x^{2}-2 x, x<0,\end{array}\right. 若 f\left(3-a^{2}\right)< f(2 a) , 求实数 a 的取值范围.~~~~~~答案
答案：(-3,1);提示：f(x)在R上单调递减.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
10.已知函数 f(x+2) 是 \mathbf{R} 上的偶函数, 且 f(x) 在 [2,+\infty) 上恒有 \frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0~~~~~~~~~~~\\\left(x_{1} \neq x_{2}\right) , 求不等式 f(\ln x)>f(1) 的解集.~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(e,e^3);提示：由 f(x+2) 是 \mathbf{R} 上的偶函数可得对称轴为x=2,又函数左增右减,\\\therefore |\ln x-2|<|1-2|,\therefore x\in(e,e^3).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
11.设函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x-1, x < a, \\ x^{2}-2 a x+1, x \geqslant a,\end{array}\right. 当 f(x) 存在最小值时, 求实数 a 的取值范围.~~答案
答案：a\le -1或a=0;提示：画函数图象.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
12.已知定义在 \mathbf{R} 上的函数 f(x) 满足: (1) f(x+y)=f(x)+f(y)+1 , (2) 当 x>0 时,~~~~~~~ \\f(x)> -1 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1) 求 f(0) 的值, 并证明 f(x) 在 \mathbf{R} 上是增函数;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 若 f(1)=1 , 解关于 x 的不等式 f\left(x^{2}+2 x\right)+f(1-x)>4 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)f(0)=-1;(2)(-\infty,-2)\cup (1,+\infty);提示： f\left(x^{2}+2 x\right)+f(1-x)=~~~~~~~~~~~~~\\f(x^{2}+2 x+1-x)-1>4,\therefore f(x^{2}+2x+1)>5,又f(3)=5,\therefore f(x^{2}+2x+1)>f(3)
13.已知定义在 \mathbf{R} 上的偶函数 f(x) 在 [0,+\infty) 上单调递增, 若 f(\ln x)< f(2) , 求 x 的范围.~~~答案
答案：\left(\mathrm{e}^{-2}, \mathrm{e}^{2}\right) ;提示：观察离对称轴的距离，得|\ln x|<2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
14.设函数 f(x)=\ln (1+|x|)-\frac{1}{1+x^{2}} , 求使得 f(x)>f(2 x-1) 成立的 x 的取值范围为.答案
答案：\left(\frac{1}{3}, 1\right) ;提示：函数f(x)为偶函数，在(0,+\infty)单增，\therefore |x|>|2x-1|.~~~~~~~~~~~~~~~
15.已知函数 f(x)=\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}+3 x +3 , 且 f\left(a^{2}\right)+f(3 a-4)>6 , 求实数 a 的取值范围.~~~~答案
答案：(-\infty,-4)\cup(1,+\infty);提示：令g(x)=f(x)-3=\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}+3 x 是奇函数，且~~~~~\\单增, f\left(a^{2}\right)+f(3 a-4)>6变形为f(a^2)-3>-[f(3a-4)-3]，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\即g(a^2)>-g(3a-4).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习1.已知f(x)=e^{-x}-e^x-2x+4,若f(a-6)+f(a^2)>8,求a的范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(-3,2);提示：F(x)=f(x)-4为奇函数，且单减函数。原式变形为~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\f(a-6)-4>-f(a^2)+4.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
练习2. 已知函数 f(x)=-2 x^{3}+\frac{c}{\mathrm{e}^{x}+1} 的图象关于点 (\mathbf{0}, \mathbf{1}) 成中心对称图形, f\left(-t^{2}\right)+~~~\\f(2 t+3)>2 , 求实数 t 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：\left ( -\infty ,-1 \right ) \cup \left ( 3,+\infty \right ) ;提示:关于(0,1)对称，\Rightarrow f(x)+f(-x)=2,\Rightarrow c=2,~~\\构造F(x)=f(x)-1，F(x)关于(0,0)对称，\therefore F(x)为奇函数，且为减函数,由~~~~~~~~~~~\\f\left(-t^{2}\right)+f(2 t+3)>2\Rightarrow f\left(-t^{2}\right)-1>-[f(2 t+3)-1],\Rightarrow F(-t^2)>-F(2t+3).
练习3.定义在 (0,+\infty) 上的函数 f(x) 满足 \forall x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty) 且 x_{1} \neq x_{2} , 有~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right]\left(x_{1}-x_{2}\right)>0 , 且 f(x y)=f(x)+f(y), f(4)=\frac{2}{3} , 求不等式 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\f(2 x)-f(x-3)>1 的解集.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(3,4);提示:x=y=2,\Rightarrow f(2)=\frac{1}{3} ,\Rightarrow f(8)=1.f(2 x)-f(x-3)>1 \Leftrightarrow ~~~~~~~~~~\\f(2 x) > f(x-3)+f(8),\Rightarrow f(2 x)>f(8x-24),结合定义域\Rightarrow x\in(3,4).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
16.已知函数 f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-a x, x \leq 1 \\ \displaystyle \frac{1}{3} x^{3}-\frac{3}{2} a x^{2}+\left(2 a^{2}+2\right) x-\frac{11}{6}, x>1\end{array}\right. , 若对任意 x_{1}< x_{2} ,~~~~~~~~ \\都有 f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<2 x_{1}-2 x_{2} , 则实数 a 的取值范围是 ( ~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. (-\infty,-2) ~~
B. [1,+\infty) ~~
C. \left(-2, \frac{1}{2}\right] ~~
D. \left(-\infty,-3\right) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：A;提示：f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<2 x_{1}-2 x_{2} ,转化为f\left(x_{1}\right)-2 x_{1}< f\left(x_{2}\right)-2 x_{2} ,~~~~~~~~~~~\\即g(x)=f(x)-2x在R上单调递增.当x\le1时，\Rightarrow a<-2, 当x>1时，g(x)=x^2-\\3ax+2a^2 \ge0在x>1时恒成立,因对称轴x=\frac{3a}{2}<0,只需x=1时，2a^2-3a+1 \ge0,\\综上,a<-2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
函数的奇偶性、周期性
(1) 若 f(x+a)=f(x) , 则 T=a ；(2) 若 f(x+a)=-f(x) , 则 T=2 a;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(3) 若 f(x+a)=\frac{1}{f(x)} , 则 T=2 a；(4) 若 f(x+a)=\frac{m}{f(x)} , 则 T=2 a(m\ne 0) ;~~~~~~~~~~~~~~~~~(5) 若 f(x+a)=-\frac{1}{f(x)} , 则 T=2 a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1.(多选)下列命题中正确的是( ~~~~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. f(x)=\log _{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) 是奇函数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
B. 函数 y=x \sin x 是偶函数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
C. f(x)=(x-1) \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} 是偶函数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ D. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+x & (x<0), \\ -x^{2}+x & (x>0)\end{array}\right. 是奇函数 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\E. f(x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{|x+3|-3} 是奇函数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\F. f(x)=\frac{\sqrt{36-x^{2}}}{|x+3|-3} 是奇函数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\G. f(x)=\frac{a^x-1}{a^x+1}(a>0,a\ne 1) 是奇函数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：ABDEG;提示：选项C的定义域为[-1,1)，不对称；选项E的定义域为[-1,1],\\化简后为f(x)=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} ;选项E的定义域为(-6,6]不对称，非奇非偶函数。~~~~~~~~~~~~~~~~
2.若 f(x)=(x+a) \ln \frac{2 x-1}{2 x+1} 为偶函数，求实数 a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：a=0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.若 f(x)=\frac{a+1}{\mathrm{e}^{x}-1}+1 为奇函数, 求实数 a.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a=1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知函数 f(x) 为奇函数且定义域为 \mathbf{R} , 当 x>0 时, f(x)=x+1 , 求f(x)的解析式.~~~~~~~~答案
答案：f(x)=\left\{\begin{matrix}
x+1,x>0, & \\
0,x=0, & \\
x-1,x<0. &
\end{matrix}\right.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式.若函数g(x)与f(x)=e^x关于直线x=1对称,求g(x)的解析式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：g(x)=2^{2-x};提示：设(x,y)是g(x)上一点，关于x=1的对称点为(2-x,y),且~~\\在f(x)图象上，即y=e^{2-x},\therefore g(x)=e^{2-x}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.设 f(x) 是定义在 \mathbf{R} 上周期为 4 的偶函数, 且当 x \in[0,2] 时, f(x)=\log _{2}(x+1) ,求函~~~~~~~\\数 f(x) 在 [2,4] 上的解析式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：f(x)=\log_2(5-x),x\in[2,4];提示：设x\in[2,4],则x-4\in[-2,0],~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\则4-x\in [0,2],\therefore f(4-x)=\log_2(5-x),f(4-x)=f(-x)=f(x),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\therefore f(x)=\log_2(5-x),x\in[2,4].~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6. f(x) 是定义在 \mathbf{R} 上的偶函数, 对 \forall x \in \mathbf{R} , 均有 f(x+2)=-f(x) , 当 x \in[0,1] 时, ~~~~~~~~~~~~~\\f(x)=\log _{2}(2-x) ,
当 x \in[2,3] 时, 求f(x)的解析式. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：f(x)=-\log _{2}(4-x) ， x \in[2,3] ;提示：设 x \in[2,3]，则x-2\in [0,1],~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\therefore f(x-2)=\log _{2}(4-x) ,由条件知 f(x-2)=-f(x),\therefore f(x)=-\log _{2}(4-x)~~~~~~~~~~~~~~~
7.（多选）已知函数 f(x) 的定义域为 \mathbf{R} , 满足 f(x+3)+f(x+1)=0 , 且 f(x+1) 为偶~~\\函数, 则 (~ )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. f(2)=0 ~~~
B. f(x) 为偶函数~~~
C. f(x) 为周期函数~~~
D. f(x+4) 为偶函数~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：AC；提示： 由f(x+1) 为偶函数可得以下两个结论：f(-x+1)=f(x+1)和\\x=1为对称轴. 由f(x+3)+f(x+1)=0可化为f(x+3)=-f(x+1)=-f(-x+1),~~\\可得两个结论：周期T=4和(2,0)为对称中心.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.已知函数f(x)定义域为R,(f(x)不恒为0),f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，\\求f(-1).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：f(-1)=0;提示：f(x+2)为偶函数\Rightarrow 对称轴为x=2；f(2x+1)为奇函数，~\\\Rightarrow f(-2x+1)=-f(2x+1)\Rightarrow对称中心为(1,0),f(-1)=f(1)=0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.已知函数 f(x) 对 \forall x \in \mathbf{R} 满足 f(x+2) \cdot f(x)=2 f(1) , 且 f(x)>0 . 若 y=f(x-1) 的~~~~\\图象关于 x=1 对称, f(0)=1 , 求 f(2025).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:2;提示：先求f(1).令x=-1,\Rightarrow f(-1)=2.由y=f(x-1) 的图象关于 x=1 ~~~~~~\\ 对称,可得f(x)关于y轴对称，\therefore f(1)=f(-1)=2,\therefore f(x+2)=\frac{4}{f(x)},\therefore周期T=4，\\\therefore f(2025)=f(1)=2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
10. (多选) 已知函数 f(x) , 则下列命题正确的为 ( ~~~~~~~~)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. 若 f(1+x)=f(3-x) , 则函数 f(x) 的图象关于直线 x=2 对称~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
B. 令 g(x)=f(2-x), h(x)=f(2+x) , 则函数 g(x) 与 h(x) 图象关于直线 x=0 对称~~~~~~~~\\
C. 若 f(x) 为偶函数, 且 f(x+2)=-f(x) , 则函数 f(x) 的图象关于直线 x=2 对称~~~~~~~~~~~~\\
D. 若函数 f(2 x+1) 的图象关于直线 x=1 对称, 则函数 f(x) 的图象关于直线 x=2 对称~~
答案
答案：ABC；提示：选项B，通过f(x)图象平移可得，两函数关于y轴对称；选项D,~\\令F(x)=f(2x+1),F(1+x)=F(1-x),\Rightarrow f(3+2x)=f(3-2x),\Rightarrow对称轴为:~~~~\\x=3.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
11.已知函数 f(x) 的定义域为 \mathbf{R} , 且 f(x+1)+f(x-1)=2, f(x+2) 为偶函数. 若~~~~~~~~~~~\\ f(0)=2 ,求 \sum_{k=1}^{115} f(k).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：114；提示：f(x+2) 为偶函数\Rightarrow f(x)关于x=2对称，f(-x+2)=f(x+2)~;\\由f(-x+2)=f(x+2)\Rightarrow f(3-x)=f(x+1),与 f(x+1)+f(x-1)=2联立可得~~\\f(3-x)+f(x-1)=2，\Rightarrow对称中心为(1,1),\Rightarrow周期T=4，f(1)=1,f(2)=0,~~~~~\\f(3)=1,f(4)=2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
12.已知函数 f(2 x+1) 是定义在 \mathbf{R} 上的奇函数，且 f(2 x+1) 的一个周期为 2 ，则 (\quad) ~~~~~\\
A. 1 为 f(x) 的周期~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
B. f(x) 的图象关于点 \left(\frac{1}{2}, 0\right) 对称~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
C. f(2023)=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
D. f(x) 的图象关于直线 x=2 对称~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：C;提示：f(2 x+1) 是定义在 \mathbf{R} 上的奇函数,\Rightarrow f(-2x+1)=-f(2x+1),\Rightarrow
~~~~~\\f(x)的对称中心为(1,0);f(2 x+1) 的一个周期为 2,设F(x)=f(2x+1),即F(x+2)=\\F(x),\Rightarrow f(2(x+2)+1)=f(2x+1),即f(2x+5)=f(2x+1),即f(t+5)=f(t+1),\\\Rightarrow f(x)周期T=4.由T=4,\Rightarrow f(-1)=f(3),由对称中心为(1,0)，\Rightarrow f(-1)=-f(3),\\\Rightarrow f(-1)=f(3)=0,f(2023)=f(3)=0。选项D,易举出反例不成立.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
函数的对称性
1.f(a+x)=f(a-x),f(x)对称轴为:x=a;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.f(a+x)=f(b-x),f(x)对称轴为:x=\frac{a+b}{2};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~3.f(a+x)=-f(a-x),f(x)对称中心为：(a,0);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.f(a+x)+f(a-x)=2b,f(x)对称中心为：(a,b).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5. 若函数 y=f(x) 的对称轴为 x=a, x=b , 则其周期为 T=2|b-a| .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.若函数 y=f(x) 的对称中心为 (a, 0),(b, 0) , 则其周期为 T=2|b-a| .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7. 若函数 y=f(x) 的对称轴为 x=a , 对称中心为 (b, 0) , 则其周期为 T=4|b-a| .~~~~~~~~~~~~~~
1.(1)已知定义在 \mathbf{R} 上的函数 f(x) 满足 f(-x)=-f(x), f(1+x)=f(1-x) , 当~~~~~~~~~~~~~~~~\\ x \in [-1,1] 时, f(x)=x^{3}-3 x , 求 f(2023).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\(2)设函数 f(x) 的定义域为 \mathbf{R}, f(x+1) 为奇函数， f(x+2) 为偶函数，当 x \in[0,1] 时， ~~\\ f(x)=2 x^{2}+b x+c ,若 f(3)-f(2)=6 ，则 f\left(\frac{3}{2}\right)=
(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\A. \frac{9}{4} \quad
B. \frac{3}{2} \quad
C. -\frac{7}{4} \quad
D. -\frac{5}{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)2；提示：奇函数，对称轴x=1,周期T=4,f(2023)=f(-1)=2.~~~~~~~~~~~~~~~~
\\(2)D;提示:f(x+1)为奇函数,\Rightarrow (1,0)为对称轴，\therefore f(1)=0;f(x+2)为偶函数,\Rightarrow \\x=2为对称轴，\Rightarrow T=4.★将f(3),f(2),f(\frac{3}{2})全部转化到[0,1].★\Rightarrow b=-8,c=6,\\f(\frac{3}{2})=-f(\frac{1}{2})=-\frac{5}{2}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2. 已知 f(x) 是定义在 \mathbf{R} 上的奇函数, 若 f\left(x+\frac{3}{2}\right) 为偶函数且 f(1) =2 , 求 f(2022)+~~~~~~\\f(2023)+f(2024).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：4；提示：奇函数，对称轴x=\frac{3}{2},\therefore周期T=6.由对称轴得f(2)=f(1)=2.~~~~~~
3.已知 f(x) 是定义域为 (-\infty,+\infty) 的奇函数, 满足 f(1-x)=f(1+ x） . 若 f(1)=2 , ~~~~~~~~~~\\求 f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：2；提示：周期T=4,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0.~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.
设函数 f(x)=\frac{(x+1)^{2}+\sin x}{x^{2}+1} 的最大值为 M , 最小值为 m , 求 M+m.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案: 2;提示：函数可化简为f(x)=1+\frac{2x+\sin x}{x^{2}+1} ,其中y=\frac{2x+\sin x}{x^{2}+1} 为奇函数，~~~~\\最大值与最小值的和为0.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式.已知函数f(x)=ax^3+b\sin x+4,f(\lg(\log _210))=5,求f(\lg(\lg2)).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：3;提示：f(\lg(\log_2 10))=f(\lg(\frac{1}{\lg2}))=f(-\lg(\lg 2)),若已知f(t)=5,则~~~~~~~~~~~~~\\f(-t)=3，\therefore f(\lg(\lg2))=3.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知函数 f(x)(x \in \mathbf{R}) 满足 f(-x)=2-f(x) , 若函数 y=\frac{x+1}{x} 与 y =f(x) 图象的~~~~~~\\交点为 \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{m}, y_{m}\right) , 求 \sum_{i=1}^{m}\left(x_{i}+y_{j}\right) 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：m;提示：两个函数的对称中心都是(0,1).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.已知定义在 \mathbf{R} 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=-f(x) , 当 1 \leqslant x<2 时, f(x)=x-2 . ~~~\\若 y=\frac{1}{6} x-\frac{1}{3} 与 f(x) 的图象交于点 \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) ,求~~~~~~~~~~~~~~\\ \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：14;提示：两个函数的对称中心都是(2,0).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
导函数与原函数的对称性
(1)f(x)为奇函数，则f^{\prime}(x)为偶函数;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)f(x)对称中心为(a,b)，则f^{\prime}(x)对称轴为x=a;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)f(x)为偶函数，则f^{\prime}(x)为奇函数;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(4)f(x)对称轴为x=a,f^{\prime}(x)对称中心为(a,0);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(5)f(x)周期为T,f^{\prime}(x)的周期为T.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1.(多选)已知函数 f(x)(x \in \mathbf{R}) 是奇函数, f(x+2)=f(-x) 且 f(1)=2, f^{\prime}(x) 是 f(x) 的~~~\\导函数，则 (\quad) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\A. f(2025)=2 ~~
B. f^{\prime}(x) 的周期是 4~~
C. f^{\prime}(x) 是偶函数~~
D. f^{\prime}(1)=1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：ABC;提示：f(x+2)=f(-x)\Rightarrow f(x)对称轴为x=1,\Rightarrow f^{\prime}(x) 对称中心~~~~~~~~~~~\\为(1,0),又f(x)为奇，\Rightarrow f(x)周期T=4,f^{\prime}(x) 周期也是4.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知函数 f(x) 及其导函数 f^{\prime}(x) 的定义域均为 \mathbf{R} , 记 g(x)=f^{\prime}(x) ,若 f(x+2) 为偶函数，\\ g(x) 为奇函数，则 (\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\
A. f(x)=f(4-x) ~~
B. g(x)=-g(4-x) ~~
C. f(x)=-f(x+4) ~~
D. g(x)=g(x+4) ~~~~~~~~~答案
答案：ABD;提示：f(x+2)为偶，g(x)对称中心为(2,0),又g(x)为奇，\therefore g(x)周期~~~~\\T=4,\therefore BD正确.f(x+2) 为偶函数，\therefore f(x)对称轴为x=2,A正确.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知函数 f(x) 是定义在 \mathbf{R} 上的可导函数, 其导函数为 g(x), f(x+2) 和 g(x+1) 都是奇\\函数, f(1)=1 , 则下列说法正确的是 (~~ )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. g(x) 关于点 (1,0) 对称~~
B. f(x)+f(-x)=0 ~~
C. g(2025)=1 ~~
D. \sum_{k=0}^{2024} f(k)=0 ~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：ABD;提示： g(x)=f^{\prime}(x)，f(x+2)为奇函数，\Rightarrow f(x)对称中心为(2,0)且g(x)\\对称轴为x=2;g(x+1)为奇函数，\Rightarrow g(x)对称中心为(1,0)且f(x)对称轴为x=1.~~~~~
