观看人数： 120
正弦定理、余弦定理模型
1.(多选)下列正确的选项是(\quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
A.在 \triangle A B C 中, 若 \sin A>\sin B , 则 A>B ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
B.在 \triangle A B C 中, 若 \sin 2 A=\sin 2 B , 则 A=B ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
C.当 b^{2}+c^{2}-a^{2}>0 时, \triangle A B C 为锐角三角形; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\D.当 b^{2}+c^{2}-a^{2}<0 时, \triangle A B C 为钝角三
角形;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
E.在锐角\triangle A B C中，\sin A>\cos B.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:ADE;提示:A选项的等价关系有:A>B\Leftrightarrow a>b\Leftrightarrow \sin A >\sin B~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\Leftrightarrow \cos A< \cos B;选项B中 \sin 2 A=\sin 2 B , 则 A=B 或2A+2B=\pi;选项E中，~~~~~~~~~\\A+B>\frac{\pi}{2},则A>\frac{\pi}{2}-B,\sin A>\sin (\frac{\pi}{2}-B).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.(1)在 \triangle A B C 中, 已知 A C=1, B C=\sqrt{3}, B=30^{\circ} , 则 A=(\quad) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. 60^{\circ} ~~~~
B. 120^{\circ} ~~~~
C. 60^{\circ} 或 120^{\circ} ~~~~
D. 30^{\circ} 或 90^{\circ} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)在 \triangle A B C 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . 若 a=2 ,b=\sqrt{6}, B=\frac{\pi}{3} , 则A为(\quad)~~~~\\
A. \frac{\pi}{4} \quad
B. \frac{\pi}{3} \quad
C. \frac{\pi}{4} 或 \frac{3 \pi}{4} \quad
D. \frac{\pi}{3} 或 \frac{2 \pi}{3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案(1)C,(2)A;提示：★判断解的个数的方法:1.大边对大角.2.三角形两角之和~~~~~~~~~\\小于\pi.3.已知两边及一边的对角时，画图与高比较大小.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.
(多选)在 \triangle A B C 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 根据下列条件解三角形, 其中~~~~~~\\有两解的是 (\quad )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. b=10, A=45^{\circ}, C=60^{\circ} \quad
B. b=\sqrt{15}, c=4, B=60^{\circ} \quad~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
C. a=\sqrt{3}, b=2, A=45^{\circ} \quad~~~
D. a=8, b=4, A=80^{\circ} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:BC;提示：已知两边及一边的对角，可能会有\\两解，根据已知角做高线.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.(1)在 \triangle A B C 中, 内角 A, B, C 所对应的边分别是 a, b, c ,若 a=3, b=\sqrt{13}, B=60^{\circ} , 求 c.(2)在 \triangle A B C 中， a=3, b=2 \sqrt{6}, \angle B=2 \angle A .
(1) 求 \cos A 的值;
(2) 求 c 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1)4;提示: 由余弦定理得 b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B , 解得 c=-1 (舍去)或 c=4 .~~~~(2)\frac{\sqrt{6}}{3},5;提示: \frac{3}{\sin A}=\frac{2 \sqrt{6}}{\sin 2 A} \Rightarrow
\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3} ,\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{3} , \because \angle B=2 \angle A ,
~~~~~~~~~~~~~\\
\Rightarrow \cos B=\frac{1}{3} , \sin B=\frac{2 \sqrt{2}}{3} .
在 \triangle A B C 中, \sin C=\sin (A+B)=\frac{5 \sqrt{3}}{9} . 由\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A} \\\Rightarrow c=\frac{a \sin C}{\sin A}=5 ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~★★注:余弦定理的解不易取舍！由a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \Rightarrow c=3或5，哪个解不~~~~\\成立呢？计算\sin A=\frac{3\sqrt{3}}{9},\sin B=\frac{6\sqrt{2}}{9},\sin C=\frac{5\sqrt{3}}{9},\therefore \sin C> \sin B> \sin A, \Rightarrow~~~~\\c>b>a, \Rightarrow a=5.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5. 已知 \triangle A B C 的内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 a=4, b=6, B=2 A , 则 c=(\quad)
~~~~~\\
A. 5\quad
B. 4 或 5\quad
C. 6\quad
D. 4 或 6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:A;提示:\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin 2A} ,解得 \cos A=\frac{3}{4} , \Rightarrow \cos B=\cos 2 A=\frac{1}{8} ,
\sin B=\frac{3 \sqrt{7}}{8} ,\\
\cos C=-\cos (A+B)=\frac{9}{16} ,
c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cdot \cos C=25 , 解得 c=5 .
故选: A .~~~~~~~~~~
6.在 \triangle A B C 中, 若 2 \cos ^{2} A-\cos A=2 \cos ^{2} B+2 \cos ^{2} C-2+\cos (B -C ) ，则 A=(~~~) \\
A. \frac{\pi}{6} \quad
B. \frac{\pi}{3} \quad
C. \frac{2 \pi}{3} \quad
D. \frac{5 \pi}{6} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:B;提示:由已知得 2\left(1-\sin ^{2} A\right)-\cos [\pi-(B+C)]=2\left(1-\sin ^{2} B\right)+~~~~~~~~~~~~~~\\2\left(1-\sin ^{2} C\right)-2+\cos (B-C) ,
整理得 \sin ^{2} B+\sin ^{2} C-\sin ^{2} A=\sin B \sin C ,~~~~~~~~~~~~~\\
\Rightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c ,
再由余弦定理得 \cos A=\frac{1}{2} .
因为 A \in(0, \pi) , 故 A=\frac{\pi}{3} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.记 \triangle A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B},
若 C=\frac{2 \pi}{3} ,\\ 求 B .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:\frac{\pi}{6};提示: \Rightarrow \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{2\sin B\cos B}{2\cos ^2 B}\Rightarrow\cos (A+B)=\sin B>0 ,\therefore A+B为~~~~\\锐角, \therefore \cos(A+B)= \sin \left[\frac{\pi}{2}-(A+B)\right]=\sin B , \therefore \frac{\pi}{2}-(A+B)=B , 即 A=\frac{\pi}{2}-2 B ,\\\Rightarrow B=\frac{\pi}{6}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8. \triangle A B C 中若有 \sin C=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B} , \triangle A B C 的形状一定是 ( \quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\A.锐角三角形\quad B.钝角三角形\quad C.直角三角形\quad D.等腰直角三角形\quad~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:C;提示:\sin C(\cos A+\cos B)=\sin A+\sin B=\sin (B+C)+\sin (A+C),~~~~~~~~\\\Rightarrow \sin B \cos C+\sin A \cos C=0, \Rightarrow(\sin B+\sin A) \cos C=0, \Rightarrow C=\frac{\pi}{2}, \Rightarrow \triangle A B C~~~\\为直角三角形.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.在斜 \triangle A B C 中, 若 \sin A=\cos B , 则 3 \tan B+\tan C 的最小值为 ( \quad)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. \sqrt{2} \quad
B. \sqrt{5} \quad
C. \sqrt{6} \quad
D. 4 \sqrt{3} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:B;提示:
因为 \sin A=\cos B>0 , 所以 B 为锐角, A 可能为锐角或钝角.~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
若 A 为锐角 A+B=\frac{\pi}{2} , 与斜 \triangle 矛盾;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
若 A 为钝角, A=\frac{\pi}{2}+B, C=\frac{\pi}{2}-2 B ,3 \tan B+\tan C=3 \tan B+\tan \left(\frac{\pi}{2}-2 B\right)~~~~~~~~\\=3 \tan B+\frac{1}{\tan 2 B}
=3 \tan B+\frac{1-\tan ^{2} B}{2 \tan B}=\frac{5}{2} \tan B+\frac{1}{2 \tan B} \geq \sqrt{5}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
10.如图, 四边形 A B C D 中, A B^{2}+B C^{2}+A B \cdot B C=A C^{2}, C D=\sqrt{3} B C, \angle C A D=~~~~~\\30^{\circ}, \angle B C D=120^{\circ} , 求 \angle A C B 的值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案: 45^{\circ} ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:解 \cos B=\frac{A B^{2}+B C^{2}-A C^{2}}{2 A B \cdot B C}=-\frac{1}{2}, \Rightarrow B=120^{\circ} .
\\设 \angle A C B=\theta , 则 \angle A C D=120^{\circ}-\theta, \angle A D C=30^{\circ}+\theta, ~~~~~\\\angle B A C=60^{\circ}-\theta .在 \triangle A C D 中, 由 \frac{A C}{\sin \left(30^{\circ}+\theta\right)}=\frac{C D}{\sin 30^{\circ}} ,
\\在 \triangle A B C 中, 由 \frac{A C}{\sin 120^{\circ}}=\frac{B C}{\sin \left(60^{\circ}-\theta\right)} ,
\because C D=\sqrt{3} B C ,~\\ 两式作比, \Rightarrow \sin \left(60^{\circ}+2 \theta\right)=\frac{1}{2}, \Rightarrow \theta=45^{\circ}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
求最值或范围
1.在 \triangle A B C 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且 a \sin A+b \sin B-a \sin B=c \sin C .\\
(1) 求角 C 的值；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 若 c=2 , 求 \triangle A B C 周长的最大值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(3)若 c=2 , 求 \triangle A B C 面积的最大值;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(4)若 c=\sqrt{3}, 求 \triangle A B C 周长的范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:(1)\frac{\pi}{3},(2)6,(3)\sqrt{3};(4)(2\sqrt{3},3\sqrt{3}]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示：(1)原式\Rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}-a b ,
故 \cos C=\frac{1}{2} , C \in(0, \pi) ,
故 C=\frac{\pi}{3} ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2) 由 a^{2}+b^{2}-a b=c^{2}=4 ,
即 4=(a+b)^{2}-3 a b ;由基本不等式ab \le (\frac{a+b}{2})^2~~~~~~~~~~~~~~~~\\
得 a+b \leq 4 ,
当且仅当 a=b=2 时取得等号,
故 \triangle A B C 周长的最大值为 6 ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(3)同理ab\le 4,面积S=\frac{1}{2}ab\sin C最大值为\sqrt{3}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(4)转化为函数求范围.由\frac{a}{\sin A} =\frac{b}{\sin B}= \frac{c}{\sin C} =2,\Rightarrow b=2(\sin A+\sin B)=~~~~~~~~~~~~~\\2(\sin A+\sin (\frac{2\pi}{3}-A)=2\sqrt{3}\sin (A+\frac{\pi }{6} ) ,其中A\in (0,\frac{2\pi }{3}).~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.在锐角三角形 A B C 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 \frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}= \frac{2 \sqrt{3} \sin C}{3 a} .\\
(1) 求角 B 的大小;
(2) 若 b=2 \sqrt{3} , 求 a+c 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1)\frac{\pi}{3},(2)(6,4 \sqrt{3}] ;
提示: (1) 由已知得 b \cos A+a \cos B=\frac{2 \sqrt{3}}{3} b \sin C .
所以~~~~~~~~~~~ \\ \sin B=\frac{\sqrt{3}}{2} . 因为 B 是锐角, 所以 B=\frac{\pi}{3} .
(2) 由正弦定理, 得 \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}=4 ,
\\则 a=4 \sin A, c=4 \sin C .
所以 a+c=4 \sin A+4 \sin C=4 \sin A+4 \sin \left(\frac{2 \pi}{3}-A\right)~~~~~~\\=4 \sqrt{3} \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right) .
由锐角三角形 A B C 可知 \left\{\begin{matrix}
0 < A < \displaystyle\frac{\pi}{2}& \\
0 < \displaystyle\frac{2 \pi}{3}-A < \displaystyle\frac{\pi}{2} &
\end{matrix}\right. , 得 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \frac{\pi}{6}< A<\frac{\pi}{2} ,
\therefore \frac{\pi}{3} < A+\frac{\pi}{6}<\frac{2 \pi}{3} , \therefore \frac{\sqrt{3}}{2} < \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right) \leqslant 1 ,
\therefore 6< a+c \leqslant 4 \sqrt{3} . ~~~~~~~~~\\\therefore a+c 的取值范围为 (6,4 \sqrt{3}] .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知 \triangle A B C 为锐角三角形, 角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c , 且 \sqrt{3} a \sin B-b \cos A=b .\\
(1) 求 A 的值;
(2) 若 a=2 , 求 2 b-c 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
(1)由已知得 \sqrt{3} \sin A-\cos A=1 , \Rightarrow \sin \left(A-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2} ,\therefore A=\frac{\pi}{3} 或\pi(舍),\therefore A=\frac{\pi}{3} ；
\\(2)\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{4}{\sqrt{3}} ,
\therefore 2 b-c=2 \times \frac{4}{\sqrt{3}} \sin B-\frac{4}{\sqrt{3}} \sin C=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\frac{4}{\sqrt{3}}\left[2 \sin B-\sin \left(\frac{2 \pi}{3}-B\right)\right] =\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot\left(\frac{3}{2} \sin B-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B\right)=4 \sin \left(B-\frac{\pi}{6}\right) .~~~~~~~~~\\\because \triangle A B C 为锐角三角形,\therefore
\left\{\begin{matrix}
0 < B < \displaystyle\frac{\pi}{2} & \\
0 < \displaystyle\frac{2 \pi}{3}-B < \displaystyle\frac{\pi}{2} &
\end{matrix}\right.得 , \frac{\pi}{6} < B < \frac{\pi}{2} , 可得 0 < B-\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} ,\\ 所以 0<\sin \left(B-\frac{\pi}{6}\right)<\frac{\sqrt{3}}{2} , 则 0 < 4 \sin \left(B-\frac{\pi}{6}\right) < 2 \sqrt{3} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.已知 \triangle A B C 为锐角三角形, a, b, c 为 \triangle A B C 的内角 A, B, C 的对边, b=2 , 且 A=\frac{\pi}{3} , ~~~~~~\\求 \triangle A B C 面积的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案: \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \sqrt{3}\right) ;提示:由正弦定理 \frac{c}{\sin C}=\frac{2}{\sin B}, 得 c=\frac{2 \sin C}{\sin B} ,\Rightarrow S_{\triangle A B C}~~~~~~~~~~~~\\=\frac{1}{2} bc\sin A=\frac{\sqrt{3} \sin C}{\sin B}=\frac{\sqrt{3} \sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}-B\right)}{\sin B}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2 \tan B} ,由锐角三角形可知,~~~~~\\
\left\{\begin{matrix}
0 < B < \displaystyle\frac{\pi}{2} & \\
0 < \displaystyle\frac{2 \pi}{3}-B < \displaystyle\frac{\pi}{2} &
\end{matrix}\right.得 , \frac{\pi}{6} < B < \frac{\pi}{2} , 则 \tan B>\frac{\sqrt{3}}{3} , \therefore \frac{\sqrt{3}}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2 \tan B}<2 \sqrt{3} ,\\
\therefore \triangle A B C 面积的取值范围为 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \sqrt{3}\right) .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
★5.记 \triangle A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2 B}{1+\cos 2 B} .~~~~~~~~~~~~~~\\
(1) 若 C=\frac{2 \pi}{3} , 求 B ;
(2)求 \frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} 的最小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1)\frac{\pi}{6},(2)4\sqrt{2}-5;提示:(1) \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{2 \sin B \cos B}{2 \cos ^{2} B} , \Rightarrow \frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin B}{\cos B} , \Rightarrow\\\cos (A+B)=\sin B ， A+B+B=\frac{\pi}{2}, 由C=\frac{2 \pi}{3}\Rightarrow B=\frac{\pi}{6} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)由(1)知, \left\{\begin{array}{l}A+2 B=\displaystyle\frac{\pi}{2} \\ A+B+C=\pi\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A=C-\displaystyle\frac{\pi}{2} \\ B=\displaystyle\frac{3 \pi}{2}-2 C\end{array}\right.\right. ,原式=
\frac{\cos ^{2} C+\cos ^{2} 2 C}{\sin ^{2} C}~~~~~~~~~~~\\=\frac{\cos ^{2} C+(1-\sin 2 C)^{2}}{\sin ^{2} C}=\frac{2}{\sin ^{2} C}+4 \sin ^{2} C-5 \geq 4 \sqrt{2}-5,
当且仅当 \sin C=\frac{\sqrt{2}}{2} 时~\\取等号。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
三角形的高线、中线、角平分线
1. 在 \triangle A B C 中, A B=2, A C=1, \angle B A C=120^{\circ}, A H 为 \triangle A B C 的高线, 求 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A H}.~~~~~~~答案
答案 :\frac{3}{7};
提示:由余弦定理得 B C=\sqrt{7} , 等面积法~~~~~~\\\Rightarrow A H=\frac{\sqrt{21}}{7}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A H}=(\overrightarrow{A H}+\overrightarrow{H B}) \cdot \overrightarrow{A H} =~~~~~~~~\\|\overrightarrow{A H}|^{2}=\frac{3}{7} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知 \triangle A B C 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, C=\frac{\pi}{3} , 若 A B 边上的高线长为 2 \sqrt{3} , \\求 \triangle A B C 面积的最小值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:4 \sqrt{3};提示:
由等面积法得 \frac{1}{2} c \cdot 2 \sqrt{3}=\frac{1}{2} a b \sin C, \Rightarrow a b=4 c , 由余弦定理 \Rightarrow~~~~~~~~~ \\c^{2}=a^{2}+b^{2}-a b \Rightarrow a b \geqslant 16 , 当且仅当a=b=4 取等号, \triangle A B C 面积的最小值为 4 \sqrt{3} .~
3.(1)在 \triangle A B C 中, 已知 A B=4, A C=7, B C 边的中线 A D=\frac{7}{2} , 求 B C的长.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)在 \triangle A B C 中, 已知 A=60^{\circ}, B C=2, D 为 B C 的中点,求线段 A D 长度的最大值.~~~~~~~~~~~答案
答案: (1)9,(2)\sqrt{3};~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:(1)\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) , 两边平方~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \Rightarrow \cos A=-\frac{2}{7}, \Rightarrow B C=9 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)\sqrt{3};提示:由余弦定理得 4=b^{2}+c^{2}-b c, \quad \Rightarrow b c \leq 4 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}), \Rightarrow \overrightarrow{A D}^{2}=\frac{1}{4}\left(b^{2}+c^{2}+b c\right)=\frac{1}{4}(4+2 b c) \leq 3 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4. 记 \triangle A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 \triangle A B C 的面积为 \sqrt{3}, D 为 B C 中点,~~\\ 且 A D=1 .
(1)若 \angle A D C=\frac{\pi}{3} , 求 \tan B ;
(2) 若 b^{2}+c^{2}=8 , 求 b, c .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:(1)\frac{\sqrt{3}}{5} ,(2)b=c=4 ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:
(1) S_{\triangle A D C}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2} D A \cdot D C \sin \frac{\pi}{3},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \Rightarrow D C=2, \Rightarrow B D=2, \Rightarrow A B=\sqrt{7} \Rightarrow \cos B=~~~~~~~~~~~~~\\\frac{5 \sqrt{7}}{14}, \Rightarrow \sin B=\frac{\sqrt{21}}{14} \Rightarrow \tan B=\frac{\sqrt{3}}{5} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)
\overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}) , 平方得 4=b^{2}+c^{2}+2 b c \cos \mathrm{~A} , ~~\\其中 b^{2}+c^{2}=8 , 由面积得 \frac{1}{2} b c \sin A=\sqrt{3} ,联立得 ~~~~~~~~~~~~~\\A=\frac{2 \pi}{3}, \Rightarrow b c=4, \Rightarrow b=c=4 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.已知 \triangle A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 \cos A+\sqrt{3} \sin A=\frac{b+a}{c} .~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求角 C ;
(2)设 B C 的中点为 D , 且 A D=\sqrt{3} , 求 a+2 b 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:C=\frac{\pi}{3} ;(2)(2\sqrt{3} ,4\sqrt{3} ].~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\提示:(1)略;
(2) 设 \angle C A D=\theta , 则 \triangle A C D 中, 由 C=\frac{\pi}{3} 可知\\ \theta \in\left(0, \frac{2 \pi}{3}\right) ,
由正弦定理及 A D=\sqrt{3} 可得 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\frac{C D}{\sin \theta}=\frac{A C}{\sin \left(\displaystyle\frac{2 \pi}{3}-\theta\right)}=\frac{A D}{\sin \displaystyle \frac{\pi}{3}}=2 , 所以 C D=2 \sin \theta, ~~~~
\\A C=2 \sin \left( \frac{2 \pi}{3}-\theta\right) ,
\therefore a+2 b=4 \sqrt{3} \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) ,~~~~~~~\\
由 \theta \in\left(0, \frac{2 \pi}{3}\right) , \sin \left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) \in\left(\frac{1}{2}, 1\right] ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \therefore a+2 b \in(2 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}] .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 6.在 \triangle A B C 中, A B=6, A C=2, A D 为 \angle B A C 的角平分线, A D =\sqrt{3} , 求\triangle A B C 的面积.
答案
答案4 \sqrt{2}:提示: S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B D}+S_{\triangle A C D},\Rightarrow~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\\frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot \sin 2 \theta=\frac{1}{2} A B \cdot A D \cdot \sin \theta+\frac{1}{2} A D \cdot A C \cdot \sin \theta, \\\Rightarrow \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}, \sin \theta=\frac{\sqrt{6}}{3}, \sin 2 \theta=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \Rightarrow S_{\triangle A B C}=4 \sqrt{2} .
7.\triangle A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 2 a+b=2 c \cos B , 若 C D 是角 C 的平~~~\\分线, A D=2 \sqrt{7}, D B=\sqrt{7} , 则 C D 的长为 (\quad )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
A. 3\quad
B. 2\quad
C. 2 \sqrt{2} \quad
D. 3 \sqrt{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:B;提示:由已知 \Rightarrow C=\frac{2 \pi}{3} . 由角平分线定理知 ~~~~\\ \frac{A C}{B C}=\frac{A D}{B D}=2 ,
设 B C=x , 则 A C=2 x , 在 \triangle A B C 中, ~~~~~\\由余弦定理A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 A C \cdot B C \cdot \cos \angle A C B, \\\Rightarrow x=3,S_{\triangle B C D}+S_{\triangle A C D}=S_{\triangle A B C} \Rightarrow C D=2 .~~~~~~~~~~~~~~
