观看人数： 79
求通项公式
1.(1)已知数列\left \{ a_n \right \} 满足S_n=n^2+2n,求通项公式a_n;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)已知数列\left \{ a_n \right \} 满足S_n=2^n+2,求通项公式a_n;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(3)已知数列\left \{ a_n \right \} 满足S_n=2^n-1,求通项公式a_n;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(4)已知数列\left \{ a_n \right \} 满足a_{1}+3 a_{2}+5 a_{3}+\cdots+(2 n-1) a_{n}=(n+1)^{2}, 求通项公式 a_{n}.~~~~~~答案
答案:(1)a_n=2n+1;(2)
a_n=\left\{\begin{matrix}
4,n=1& \\
2^{n-1},n\ge 2 &
\end{matrix}\right.(3)a_n= 2^{n-1};(4)a_n=\left\{\begin{matrix}
4,n=1 & \\
\displaystyle \frac{2n+1}{2n-1},n\ge 2 &
\end{matrix}\right.~~\\提示:讨论n=1和n\ge 2两种情况,即
a_n=\left\{\begin{matrix}
a_1,n=1 & \\
S_n-S_{n-1},n\ge 2&
\end{matrix}\right..~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知数列\left \{ a_n \right \} 满足a_1=1,a_na_{n+1}=2^n,求a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：2.a_n=\left\{\begin{matrix}
2^{\frac{n-1}{2} },n为奇数 \\
2^{\frac{n}{2} } ，n为偶数
\end{matrix}\right.;~~提示：a_na_{n+1}=2^n，a_{n-1}a_{n}=2^{n-1}(n\ge2),两式比,~~~~\\\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=2,\therefore 奇数项为a_1=1,a_3=2,a_5=2^2,\dots 偶数项为a_2=2,a_4=2^2,a_6=2^3,\dots~~~
3.已知数列\left \{ a_n \right \} 满足a_1=2,(n-2)S_{n+1}+2a_{n+1}=nS_n,求a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a_n=2n;提示：转化a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n},\Rightarrow\frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{n+2}{n},累乘~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\得S_n=n(n+1),\therefore a_n=2n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.(1)已知数列\left \{ a_n \right \} 满足a_1=4,S_{n}=a_{n+1},求通项公式a_n;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)已知数列\left \{ a_n \right \} 满足
6S_n=(3n+2)a_n+2,求通项公式a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
(1)答案：a_n=\left\{\begin{matrix}
4,n=1 \\
2^{n},n\ge 2
\end{matrix}\right.;提示：n\ge2时，S_n-S_{n-1}=a_n,\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}=2(n\ge2),~~~~~~~\\但是\frac{a_2}{a_1}=1，\therefore 首项不满足等比数列.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\\(2)答案:a_n=3n-1.提示：n\ge2时，S_n-S_{n-1}=a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.数列\left \{ a_n \right \} 为正项数列，a_1=1,S_n+S_{n+1}=a_{n+1}^2.求a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a_n=n;提示:n\ge 2，S_{n-1}+S_{n}=a_{n}^2，两式相减得a_n-a_{n-1}=1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.正项数列 \left\{a_{n}\right\} 满足
a_{1}=2,6 S_{n}=\left(a_{n}+2\right)\left(a_{n}+1\right) \text ,求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a_n=3n-1；利用S_{n}-S_{n-1}=a_n转化.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.已知等差数列 \left\{a_{n}\right\} , 满足 \frac{a_{n}+a_{n+1}}{4}=n+1 ,求 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a_n=2n+1；提示：\therefore \left\{a_{n}\right\} 为等差数列，令n=1,n=2,解得a_1=3,d=2.~~~~
8.已知等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的首项为 1 , 前 n 项和为 S_{n} . 记 b_{n}=\frac{S_{n}+n}{n(n+1)} ,数列 \left\{b_{n}\right\} 是等差数列,\\
求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\答案
答案：a_n=2n-1;提示：设数列 \left\{a_{n}\right\} 公差为d,又因数列 \left\{b_{n}\right\} 是等差数列，所以~~~~~~~~\\b_1+b_3=2b_2,\Rightarrow d =2,a_n=2n-1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.正项数列 \left\{a_{n}\right\} 满足 a_{1}=1, \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=a_{n}+2\left(n \in N^{*}\right) ,证明: 数列 \left\{\frac{1}{a_{n}}+1\right\} 是等比~~~~~\\数列，并求通项公式a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a_n=\frac{1}{2^n-1}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
10.(1) 在数列 \left\{a_{n}\right\} 中, a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right) , 求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式 a_{n}.~~~~~~~
(2) 在数列 \left\{a_{n}\right\} 中,a_{n+1}=\frac{n}{n+2} a_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right) , 且 a_{1}=4 , 求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式 a_{n}.~~~~~~~(3) 在数列 \left\{a_{n}\right\} 中,若 a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+3 , 求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式 a_{n}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)在数列 \left\{a_{n}\right\} 中,若 a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n+1} , 求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式 a_{n}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)若数列 \left\{a_{n}\right\} 满足 a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}+2} , 求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式 a_{n}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案:(1) a_{n}=2+\ln n ;提示:累加法;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(2)答案:a_{n}=\frac{8}{n(n+1)} ;提示:累乘法;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(3)答案 :a_n= 2^{n+ 1}-3 ; 提示: 构造法.形如 a_{n+1}=A a_{n}+B , 两边同加X,\Rightarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\a_{n+1}+X=Aa_n+B+X=A\left ( a_n+\frac{B+X}{A} \right ) ,a_{n+1}+3=2\left(a_{n}+3\right)\Rightarrow a_{n}=2^{n+1}-3 .\\
(4)答案:a_n=(n-\frac{1}{2})2^{n};提示: 两边同除以 2^{n+1}, \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\frac{a_{n}}{2^{n}}+1 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\(5)答案:a_n= \frac{2}{n+1} , 提示: 取倒数， \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{2}, \frac{1}{a_{n}}=\frac{n}{2}+\frac{1}{2} , 所以 a_{n}=\frac{2}{n+1} .~~~
数列单调性及最大项
1.已知数列{a_n}满足a_n＝n^2－\lambda n(n∈N^*)，若{a_n}是递增数列，求\lambda 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(-\infty ，3)；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知数列\left \{ a_n\right \}的通项a_n＝\frac{2n－19}{2n－21} ，n∈N^*，求数列\left \{ a_n\right \}的最大项与最小项.~~~~~~~~~~~答案
答案：最大项a_{11}＝3,最小项a_{10}＝－1；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示：a_{n}=\frac{2 n-19}{2 n-21}=\frac{2 n-21+2}{2 n-21}=1+\frac{2}{2 n-21}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知数列\left \{a_n \right \} 中，a_n＝1＋\frac{1}{a+2(n-1)} 都有a_n≤a_6成立，求a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：（-10，-8）;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示：画函数f(x)=1+\frac{1}{2x+a-2} 的图象，渐近线x=\frac{2-a}{2} ,5<\frac{2-a}{2}<6.~~~~~~~~~~~~
4.已知数列\left \{ a_n\right \} 的通项公式为a_n＝(n＋2)·(\frac{6}{7}) ^n，求数列\left \{ a_n\right \} 的最大项.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：最大项为 a_{4}=a_{5}=\frac{6^{5}}{7^{4}} ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示：
\left\{\begin{array} { l }
{ a _ { n } \geqslant a _ { n - 1 } , } \\
{ a _ { n } \geqslant a _ { n + 1 } , }
\end{array} \text { 即 } \left\{\begin{array} { l }
{ ( n + 2 ) \cdot ( \frac { 6 } { 7 } ) ^ { n } \geqslant ( n + 1 ) \cdot ( \frac { 6 } { 7 } ) ^ { n - 1 } , } \\
{ ( n + 2 ) \cdot ( \frac { 6 } { 7 } ) ^ { n } \geqslant ( n + 3 ) \cdot ( \frac { 6 } { 7 } ) ^ { n + 1 } , }
\end{array} \text { 所以 } \left\{\begin{array}{l}
n \leqslant 5, \\
n \geqslant 4,
\end{array},\right.\right.\right.~~~~~~~~~~\\所以 n=4 或 n=5 , 最大项为 a_{4}=a_{5}=\frac{6^{5}}{7^{4}} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
确定新数列的通项
1.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和为 S_{n} , 满足 S_{n}=2 a_{n}-2 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)删去数列 \left\{a_{n}\right\} 的第 3 i 项（其中 i=1,2,3, \cdots ), 将剩余的项按从小到大的顺序排成~~~~\\新数列 \left\{b_{n}\right\} , 设 \left\{b_{n}\right\} 的前 n 项和为 T_{n} , 请写出 \left\{b_{n}\right\} 的前 6 项, 并求出 T_{6} 和 T_{2 n} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：(1)a_n=2^n;(2)T_6=438,T_{2n}=\frac{6(8^n-1)}{7} .提示：去掉第3i项后剩余两个等比数~~\\列,分别是2\times 8^{n-1}和4\times 8^{n-1}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.数列\{a_n\}的通项公式a_n=2n-1,数列\{b_n\}的通项公式b_n=3n-2,公共项构成的~~~~~\\数列为\{c_n\}，求数列\{c_n\}的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：c_n=6n-5;提示：\{c_n\}是等差数列，首项为1，公差为6.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.数列\{a_n\}的通项公式a_n=2n-1,数列\{b_n\}的通项公式b_n=n^2-1,公共项构成的~~~~~\\数列为\{c_n\}，求数列\{c_n\}的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：c_n=(2n)^2-1;提示：a_n表示所有的奇数，b_n中的所有奇数都是公共项，~~~~~~~~~~\\\therefore c_n=(2n)^2-1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.数列\{a_n\}的通项公式a_n=3n-1,数列\{b_n\}的通项公式b_n=3^n+n,公共项构成的~~~~~\\数列为\{c_n\}，求数列\{c_n\}的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：c_n=b_{3n-1};提示：a_n表示被3除余2的数，b_n中的3^n能被3整除，n中被3除余2的~\\数为2,5,8，\dots 3n-1~~ ,\therefore c_n=b_{3n-1}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
数列的性质及应用
1.下列说法正确的是 (~~~~ )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\A. 若等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和为 S_{n} , 则 S_{4}, S_{8}-S_{4}, S_{12}-S_{8} 成等差数列;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
B. 若数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式为 a_{n}=26-2 n , 当n=12或13时,\left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和 S_{n} 最大;~~~~\\
C. 若等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和为 S_{n}, a_{1}>0, S_{10}=S_{20} , 则当且仅当 n \geq 32 时, S_{n}<0 ;~~~~~\\
D. 若正数等比数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项积为 T_{n}, a_{6}=1 , 则 T_{11}=1 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:ABD;提示:选项B中,a_{12}=2,a_{13}=0,a_{14}=-2;选项C中,S_{20}-S_{10}=a_{11}+a_{12}\\+\dots+a_{20}=0,\Rightarrow a_{11}+a_{20}=0,\Rightarrow S_{30}=0,\therefore S_{31}<0;选项D中，T_{11}=a_{6}^{11}=1.~~~~~~~~
