观看人数: 37
求通项公式
1.a_1=4,S_{n}=a_{n+1},求通项公式a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:1.a_n=\left\{\begin{matrix}
4,n=1 \\
2^{n},n\ge 2
\end{matrix}\right.;提示:n\ge2时,S_n-S_{n-1}=a_n,\Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}=2(n\ge2),~~~~~~\\但是\frac{a_2}{a_1}=1,\therefore 首项不满足等比数列.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.a_1=1,a_na_{n+1}=2^n,求a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:2.a_n=\left\{\begin{matrix}
2^{\frac{n-1}{2} },n为奇数 \\
2^{\frac{n}{2} } ,n为偶数
\end{matrix}\right.;~~提示:a_na_{n+1}=2^n,a_{n-1}a_{n}=2^{n-1}(n\ge2),两式比,~~~~\\\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=2,\therefore 奇数项为a_1=1,a_3=2,a_5=2^2,\dots 偶数项为a_2=2,a_4=2^2,a_6=2^3,\dots~~~
3.a_1=2,(n-2)S_{n+1}+2a_{n+1}=nS_n,求a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:a_n=2n;提示:转化a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n},\Rightarrow\frac{S{n+1}}{S_n}=\frac{n+2}{n},累乘~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\得S_n=n(n+1),\therefore a_n=2n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.6S_n=(3n+2)a_n+2,求a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:a_n=3n-1.提示:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.数列\left \{ a_n \right \} 为正项数列,a_1=1,S_n+S_{n+1}=a_{n+1}^2.求a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:a_n=n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.正项数列 \left\{a_{n}\right\} 满足
a_{1}=2,6 S_{n}=\left(a_{n}+2\right)\left(a_{n}+1\right) \text ,求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:a_n=3n-1;利用S_{n}-S_{n-1}=a_n转化.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
7.已知等差数列 \left\{a_{n}\right\} , 满足 \frac{a_{n}+a_{n+1}}{4}=n+1 ,求 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:a_n=2n+1;提示:\therefore \left\{a_{n}\right\} 为等差数列,令n=1,n=2,解得a_1=3,d=2.~~~~
8.已知等差数列 \left\{a_{n}\right\} 的首项为 1 , 前 n 项和为 S_{n} . 记 b_{n}=\frac{S_{n}+n}{n(n+1)} ,数列 \left\{b_{n}\right\} 是等差数列,\\
求数列 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
答案
答案:a_n=2n-1;提示:设数列 \left\{a_{n}\right\} 公差为d,又因数列 \left\{b_{n}\right\} 是等差数列,所以~~~~~~~~\\b_1+b_3=2b_2,\Rightarrow d =2,a_n=2n-1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.正项数列 \left\{a_{n}\right\} 满足 a_{1}=1, \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=a_{n}+2\left(n \in N^{*}\right) ,证明: 数列 \left\{\frac{1}{a_{n}}+1\right\} 是等比~~~~~\\数列,并求通项公式a_n.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:a_n=\frac{1}{2^n-1}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
数列单调性及最大项
1.已知数列{a_n}满足a_n=n^2-\lambda n(n∈N^*),若{a_n}是递增数列,求\lambda 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:(-\infty ,3);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知数列\left \{ a_n\right \}的通项a_n=\frac{2n-19}{2n-21} ,n∈N^*,求数列\left \{ a_n\right \}的最大项与最小项.~~~~~~~~~~~
答案
答案:最大项a_{11}=3,最小项a_{10}=-1;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
提示:a_{n}=\frac{2 n-19}{2 n-21}=\frac{2 n-21+2}{2 n-21}=1+\frac{2}{2 n-21}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知数列\left \{a_n \right \} 中,a_n=1+\frac{1}{a+2(n-1)} 都有a_n≤a_6成立,求a的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:(-10,-8);~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:画函数f(x)=1+\frac{1}{2x+a-2} 的图象,渐近线x=\frac{2-a}{2} ,5<\frac{2-a}{2}<6.~~~~~~~~~~~~
4.已知数列\left \{ a_n\right \} 的通项公式为a_n=(n+2)·(\frac{6}{7}) ^n,求数列\left \{ a_n\right \} 的最大项.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:最大项为 a_{4}=a_{5}=\frac{6^{5}}{7^{4}} ;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示:
\left\{\begin{array} { l }
{ a _ { n } \geqslant a _ { n - 1 } , } \\
{ a _ { n } \geqslant a _ { n + 1 } , }
\end{array} \text { 即 } \left\{\begin{array} { l }
{ ( n + 2 ) \cdot ( \frac { 6 } { 7 } ) ^ { n } \geqslant ( n + 1 ) \cdot ( \frac { 6 } { 7 } ) ^ { n - 1 } , } \\
{ ( n + 2 ) \cdot ( \frac { 6 } { 7 } ) ^ { n } \geqslant ( n + 3 ) \cdot ( \frac { 6 } { 7 } ) ^ { n + 1 } , }
\end{array} \text { 所以 } \left\{\begin{array}{l}
n \leqslant 5, \\
n \geqslant 4,
\end{array},\right.\right.\right.~~~~~~~~~~\\所以 n=4 或 n=5 , 最大项为 a_{4}=a_{5}=\frac{6^{5}}{7^{4}} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
确定新数列的通项
1.已知数列 \left\{a_{n}\right\} 的前 n 项和为 S_{n} , 满足 S_{n}=2 a_{n}-2 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(1)求 \left\{a_{n}\right\} 的通项公式;~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)删去数列 \left\{a_{n}\right\} 的第 3 i 项(其中 i=1,2,3, \cdots ), 将剩余的项按从小到大的顺序排成~~~~\\新数列 \left\{b_{n}\right\} , 设 \left\{b_{n}\right\} 的前 n 项和为 T_{n} , 请写出 \left\{b_{n}\right\} 的前 6 项, 并求出 T_{6} 和 T_{2 n} .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:(1)a_n=2^n;(2)T_6=438,T_{2n}=\frac{6(8^n-1)}{7} .提示:去掉第3i项后剩余两个等比数~~\\列,分别是2\times 8^{n-1}和4\times 8^{n-1}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.数列\{a_n\}的通项公式a_n=2n-1,数列\{b_n\}的通项公式b_n=3n-2,公共项构成的~~~~~\\数列为\{c_n\},求数列\{c_n\}的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:c_n=6n-5;提示:\{c_n\}是等差数列,首项为1,公差为6.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.数列\{a_n\}的通项公式a_n=2n-1,数列\{b_n\}的通项公式b_n=n^2-1,公共项构成的~~~~~\\数列为\{c_n\},求数列\{c_n\}的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:c_n=(2n)^2-1;提示:a_n表示所有的奇数,b_n中的所有奇数都是公共项,~~~~~~~~~~\\\therefore c_n=(2n)^2-1.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
4.数列\{a_n\}的通项公式a_n=3n-1,数列\{b_n\}的通项公式b_n=3^n+n,公共项构成的~~~~~\\数列为\{c_n\},求数列\{c_n\}的通项公式.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:c_n=3n-1;提示:a_n表示被3除余2的数,b_n中的3^n能被3整除,n中被3除余2~~\\的数为2,5,8,\dots 3n-1~~ ,\therefore c_n=b_{3n-1}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~