观看人数： 110
在（过）某点的切线
1.已知函数f(x)=x^3+x-16,求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：y=13x-32~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
2.已知函数f(x)=x^3+x-16,过原点作曲线f(x)的切线，求切线方程。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：y=13x~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
3.已知曲线f(x)=x^3+ax+\frac{1}{4}在点x=0处的切线与曲线g(x)=-lnx相切，~~~~~~~~~~~~~~~~\\求a的值~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~答案
答案：a=-e^{-\frac{3}{4}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
两条曲线的公切线
4.求曲线y=lnx+2和曲线y=ln(x+1)的公切线。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：y=2x+1-\ln 2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
5.若一直线与曲线y=elnx和曲线y=mx^2相切与同一点P,求实数m的值。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案：m=\frac{1}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
6.若曲线 y=(x+a) \mathrm{e}^{x} 有两条过坐标原点的切线,求 a 的取值范围.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案
答案:(-\infty,-4) \cup(0,+\infty) ;提示：y-\left(x_{0}+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}=\left[\mathrm{e}^{x_{0}}+\left(x_{0}+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}\right]\left(x-x_{0}\right)~~~~~~~~~\\为切线方程，过原点,
\Rightarrow -\left(x_{0}+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}=\left[\mathrm{e}^{x_{0}}+\left(x_{0}+a\right) \mathrm{e}^{x_{0}}\right]\left(-x_{0}\right) ,
整理得:~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ x^{2}+a x_{0}-a=0 。
有两个不同的根,
所以 \Delta=a^{2}+4 a>0 , 解得 a<-4 或 a>0 ~~~~~~~~~~~~~
7.若过 y 轴上一点 P(0, m) 可作出 3 条直线与函数 f(x)=x \mathrm{e}^{x} 的图象相切,求m的范围.~~~~~~答案
答案：m\in(-4e^{-2},0);提示：转化为-m=x^2e^{x}有三个交点问题.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
8.已知函数f(x)=e^{x}与函数g(x)=lnx+b存在一条过原点的公共切线，求b的值.~~~~~~~~答案
答案：b=2；提示：先求y=e^x过原点的切线为y=ex,也是g(x)的切线，\therefore g'(x)=~~\\ \frac{1}{x}=e,\Rightarrow g(x)切点为(\frac{1}{e},1),\Rightarrow b=2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
变式：直线y=kx是曲线f(x)=\ln x 的切线，也是曲线g(x)=ae^x的切线，求a的值.~~~
答案
答案：a=\frac{1}{e^2};提示：y=kx是过原点的直线，k=\frac{1}{e}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
9.已知 f(x)=\mathrm{e}^{x}, g(x)=\ln x+2 , 直线 l 是 f(x) 与 g(x) 的公切线, 求直线 l 的方程.~~~~~~~~~~~~~~答案
答案： y=\mathrm{e} x 或 y=x+1 ；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\提示：切线 1: y-\mathrm{e}^{x_{1}}=\mathrm{e}^{x_{1}}\left(x-x_{1}\right) ,
切线 2: y=\frac{1}{x_{2}} \cdot x+\ln x_{2}+1 ,两式对应系数~~~~~~~\\相同得，x_{1}=1 或 x_{1}=0 ,所以，直线 l 的方程为 y=\mathrm{e} x 或 y=x+1 .~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
