题目1

已知函数\( f(x) = x^2 – 2a\ln x + 1 \)，\( a \in R \)。

（1）当\( a = -1 \)时，设曲线\( y = f(x) \)在\( x = 1 \)处的切线为\( l \)，求\( l \)与曲线\( y = f(x) \)的公共点个数；

（2）当\( a > 0 \)时，若\( \forall x_1, x_2 \in [1, e] \)，\( |f(x_1) – f(x_2)| < e^2 + 1 \)恒成立，求实数\( a \)的取值范围。

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题目2

已知\( f(x) = x\sin x + a\cos x \)，\( x = \pi \)是函数\( g(x) = f'(x) \)的极小值点。

（1）求实数\( a \)的值；

（2）讨论函数\( f(x) \)在区间\((-2\pi, 2\pi)\)内的零点个数。

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题目3

已知函数\( f(x)=x(1-\ln x) \)的单调性；

(1)讨论\( f(x) \)的单调性；

(2)设\( a, b \)为两个不相等的正数，且\( b\ln a – a\ln b = a – b \)，证明：\( 2 <\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e \)。

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题目4

已知函数\( f(x)= e^{x\cos x} \)（\( e \)为自然对数的底数）

(1)求函数\( f(x) \)在点\((0,f(0))\)处的切线方程；

(2)若记\( g(x)=-x^{3}-3x\cdot \cos x+(a+3)x \)，若\(\forall x\in [0,1] \)，有\( f(x)\leq e^{g(x)} \)，求\( a \)的取值范围；

(3)设\( n\in N^{*} \)，且\( n\geq 2 \)，证明：\( \cos1+\cos\displaystyle\frac{2}{3}\)+\(\cos\displaystyle\frac{1}{2}\)+\(\cos\displaystyle\frac{2}{5}\)+\(\dots+\cos\displaystyle\frac{2}{n} < n-\displaystyle\frac{3}{2}\)+\(\displaystyle\frac{1}{n+1} \)．

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题目5

设函数\( f(x)=x^{2}(e^{x}-a) \)

(1)当\( a=0 \)时,求曲线\( y=f(x) \)在\( (1,f(1)) \)处的切线方程.

(2)若\( f(x) \)是增函数,求\( a \)的值.

(3)当\( 0\lt a\lt 1 \)时,设\( x_{0} \)为\( f(x) \)的极大值点,证明\( 0\lt f(x_{0})\lt \displaystyle\frac{4}{e} \).

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题目6

已知函数 \(f(x) = a \ln x – \displaystyle \frac{2}{x}\)，\(g(x) = \displaystyle \frac{e^x – 1}{x}\)，\(a \in \mathbb{R}\)。 当 \(a = 1\) 时，求证：对任意 \(x \in (0, +\infty)\)，恒有 \(g(x) > f(x) + \displaystyle \frac{2 – \cos x}{x}\) 成立。

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题目7

已知函数$f(x)=xe^{x}-\displaystyle \frac {1}{2}ax^{2}-ax(a∈R).$

(1) 讨论$f(x)$的单调性；

(2) 当$a>0$时，设$f(x)$的极大值为$g(a)$，求证：$g(a)≥ -\displaystyle \frac {2}{e^{2}}.$

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