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题目2
已知\( f(x) = x\sin x + a\cos x \)，\( x = \pi \)是函数\( g(x) = f'(x) \)的极小值点。
（1）求实数\( a \)的值；
（2）讨论函数\( f(x) \)在区间\((-2\pi, 2\pi)\)内的零点个数。
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方法一、答案解析
（1）\( g(x) = f'(x) = (1 – a)\sin x + x\cos x \)
\( g'(x) = (2 – a)\cos x – x\sin x \)
因为\( x = \pi \)是\( g(x) \)的极小值点，
所以\( g'(\pi) = 0 \)，所以\( a = 2 \)
此时，\( g'(x) = -x\sin x \)
经验证，\( x = \pi \)是\( g(x) \)的极小值点。
所以\( a = 2 \)
（2）\( f(x) = x\sin x + 2\cos x \)，\( x \in (-2\pi, 2\pi) \)
因为\( f(-x) = f(x) \)，所以\( f(x) \)为偶函数
先考虑\( x \in [0, 2\pi) \)
当\( x = \displaystyle\frac{\pi}{2} \)或\( x = \displaystyle\frac{3\pi}{2} \)时，\( f(x) \neq 0 \)。
当\( x \neq \displaystyle\frac{\pi}{2} \)且\( x \neq \displaystyle\frac{3\pi}{2} \)时，
令\( f(x) = x\sin x + 2\cos x = 0 \)
所以\( \tan x = -\displaystyle\frac{2}{x} \)，由图象可知有2个交点，
所以\( x \in (0, 2\pi) \)时\( f(x) \)有2个零点，
因为\( f(x) \)为偶函数，所以\( x \in (-2\pi, 0) \)时，\( f(x) \)有2个零点
所以\( f(x) \)共有4个零点。