题目1

已知四棱台\(ABCD – A_1B_1C_1D_1\)的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则( )

A. 侧棱\(CC_1\)上一点\(E\)，满足\(\displaystyle \frac{C_1E}{C_1C} = \displaystyle \frac{1}{3}\)，则\(A_1B \)//面\(AD_1E\)

B. 若\(E\)为\(CC_1\)的中点，过\(A\)，\(D_1\)，\(E\)的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为\(3: 5\)

C. \(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BB_1} + \displaystyle \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA_1}\)

D. 设\(DB_1\)与面\(AD_1C\)的交点为\(O\)，则\(\displaystyle \frac{DO}{OB_1} = \displaystyle \frac{2}{1}\)

答案

答案:$AC$

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题目2

如图，四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(PA=AC=2\)，\(BC=1\)，\(AB=\sqrt{3}\).

(1)若\(AD\perp PB\)，证明：\(AD\)//平面\(PBC\)；

(2)若\(AD\perp DC\)，且二面角\(A-CP-D\)的正弦值为\(\displaystyle \frac{\sqrt{42}}{7}\)，求\(AD\).

答案

答案:(1)略；（2）$AD=\sqrt{3}$.

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题目3

如图,点$P$为正方形$ABCD$所在平面外一点,$M$为$PA$中点,$\overrightarrow{DE}=λ\overrightarrow{DP}(0<λ<1),$平面$ABCD$⊥平面$ABP$,$AB=BP=2,AB⊥BP.$

(1) 当$λ=\displaystyle \frac {2}{3}$时,求证:$PD⊥$平面$BEM$;

(2) 当二面角$D – BM – E$的正弦值为$\displaystyle \frac {\sqrt {6}}{9}$时,求λ的值.

答案

答案:（1）略；（2）$λ=\displaystyle\frac{1}{3}$.

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题目4

如图，在以$A,B,C,D,E,F$为顶点的五面体中，四边形$ABCD$与四边形$ADEF$均为等腰梯形，$EF// AD,$$BC// AD,$$AD=4,$$AB=$$BC=$$EF=2,$$ED=\sqrt {10},$$FB=2\sqrt {3}$，$M$为$AD$的中点. 求二面角$F – BM – E$的正弦值.

答案

答案:$\displaystyle\frac{4\sqrt{3}}{13}$.

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题目5

如图，四边形\(ABCD\)中，满足\(AB // CD\)，\(\angle ABC = 90^\circ\)，\(AB = 1\)，\(BC = \sqrt{3}\)，\(CD = 2\)，将\(\triangle BAC\)沿\(AC\)翻折至\(\triangle PAC\)，使得\(PD = 2\)．

(1)求证：平面\(PAC \perp\)平面\(ACD\)；

(2)求直线\(CD\)与平面\(PAD\)所成角的正弦值．

答案

答案:$\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{5}$.

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