本题由2023级22班李俊梦讲解！
题目展示——先探究、再听讲
在$\triangle ABC$中,内角$A$,$B$,$C$的对边分别为$a$,$b$,$c$，点$O$是$\triangle ABC$的外心,$a\cos(C – \displaystyle \frac{\pi}{3}) = \displaystyle \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$.(1)求角$A$;
(2)若$\triangle ABC$外接圆的周长为$4\sqrt{3}\pi$,求$\triangle ABC$周长的取值范围.
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答案解析
解：(1) 因为O是△ABC的外心，
所以\(\displaystyle \frac{\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=|\overrightarrow{AO}|\cos\angle OAB = \displaystyle \frac{c}{2}\)，
\(\displaystyle \frac{\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=|\overrightarrow{AO}|\cos\angle OAC = \displaystyle \frac{b}{2}\)，
则\(a\cos(C – \displaystyle \frac{\pi}{3}) = \displaystyle \frac{b + c}{2}\)。
由正弦定理，\(\sin A\cos(C – \displaystyle \frac{\pi}{3}) = \displaystyle \frac{\sin B + \sin C}{2}\)，
展开得\(\sin A(\displaystyle \frac{1}{2}\cos C + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin C) = \displaystyle \frac{\sin(A + C) + \sin C}{2}\)，
即\(\displaystyle \frac{1}{2}\sin A\cos C + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin A\sin C = \displaystyle \frac{\sin A\cos C + \cos A\sin C + \sin C}{2}\)，
整理得\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin A\sin C = \displaystyle \frac{1}{2}\cos A\sin C + \displaystyle \frac{1}{2}\sin C\)，
因为\(\sin C \neq 0\)，所以\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin A = \displaystyle \frac{1}{2}\cos A + \displaystyle \frac{1}{2}\)，
即\(\sin(A – \displaystyle \frac{\pi}{6}) = \displaystyle \frac{1}{2}\)。
因为\(A \in (0, \pi)\)，所以\(A – \displaystyle \frac{\pi}{6} \in (-\displaystyle \frac{\pi}{6}, \displaystyle \frac{5\pi}{6})\)，
故\(A – \displaystyle \frac{\pi}{6} = \displaystyle \frac{\pi}{6}\)，解得\(A = \displaystyle \frac{\pi}{3}\)。
(2) 设△ABC外接圆半径为\(R\)，由外接圆周长为\(4\sqrt{3}\pi\)，得\(2\pi R = 4\sqrt{3}\pi\)，解得\(R = 2\sqrt{3}\)。
由正弦定理，\(\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \displaystyle \frac{b}{\sin B} = \displaystyle \frac{c}{\sin C} = 2R = 4\sqrt{3}\)，
所以\(a = 4\sqrt{3}\sin\displaystyle \frac{\pi}{3} = 6\)，\(b = 4\sqrt{3}\sin B\)，\(c = 4\sqrt{3}\sin C\)，且\(B + C = \displaystyle \frac{2\pi}{3}\)。
则△ABC的周长\(L = a + b + c = 6 + 4\sqrt{3}(\sin B + \sin C)\)
\(= 6 + 4\sqrt{3}[\sin B + \sin(\displaystyle \frac{2\pi}{3} – B)]\)
\(= 6 + 4\sqrt{3}(\displaystyle \frac{3}{2}\sin B + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos B)\)
\(= 6 + 12\sin(B + \displaystyle \frac{\pi}{6})\)。
因为\(B \in (0, \displaystyle \frac{2\pi}{3})\)，所以\(B + \displaystyle \frac{\pi}{6} \in (\displaystyle \frac{\pi}{6}, \displaystyle \frac{5\pi}{6})\)，
\(\sin(B + \displaystyle \frac{\pi}{6}) \in (\displaystyle \frac{1}{2}, 1]\)，
故\(L \in (12, 18]\)，即△ABC周长的取值范围是\((12, 18]\)。