本题由2023级25班王玉姿讲解！
题目展示——先探究、再听讲
图中的数阵满足: 每一行从左到右成等差数列, 每一列从上到下成等比数列, 且~~~~~~~~~~\\公比均为实数 q, ~~a_{1,1}>0, a_{1,3}=5, a_{2,2}=-6,a_{4,2}^{2}=a_{7,5}.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
\begin{matrix}
&a_{1,1} &a_{1,2} &a_{1,3} &\cdots &a_{1,n}&\cdots\\
&a_{2,1} &a_{2,2} &a_{2,3} &\cdots &a_{2,n}&\cdots\\
&a_{3,1} &a_{3,2} &a_{3,3} &\cdots &a_{3,n}&\cdots\\
&\cdots & & & & \\
&a_{n,1} &a_{n,2} &a_{n,3} &\cdots &a_{n,n}&\cdots\\
&\cdots & & & &
\end{matrix}\\
(1)设b_n=a_{n,n},求数列\left \{b_n \right \} 的通项公式；~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
(2)设S_n=a_{1,1}+a_{2,1}+\cdots+a_{n,1},是否存在实数\lambda ,使a_{n,1}\le\lambda S_n恒成立，若存在,~~~~~~~~~~\\求出\lambda 的所有值，若不存在，说明理由.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~解题探究——点击直达
答案解析
(1) 求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式设第一行等差数列的公差为$d$，等比数列的公比为$q$。
– 由$a_{1,3}=5$，得$a_{1,1}+2d = 5$。
– 由$a_{2,2}=-6$，得$(a_{1,1}+d)q = -6$。
– 由$a_{4,2}^{2}=a_{7,5}$，得$[(a_{1,1}+d)q^{3}]^{2}=(a_{1,1}+4d)q^{6}$，化简得$(a_{1,1}+d)^{2}=a_{1,1}+4d$。
将$a_{1,1}=5 – 2d$代入$(a_{1,1}+d)^{2}=a_{1,1}+4d$，得$(5 – d)^{2}=5 + 2d$，即$d^{2}-12d + 20 = 0$，解得$d = 2$或$d = 10$。
当$d = 10$时，$a_{1,1}=5 – 20 = -15 < 0$（与$a_{1,1}>0$矛盾，舍去）。故$d = 2$，$a_{1,1}=5 – 4 = 1$。
将$a_{1,1}=1$，$d = 2$代入$(a_{1,1}+d)q = -6$，得$3q = -6$，解得$q = -2$。
因为$a_{n,n}=a_{1,n}q^{n – 1}=[a_{1,1}+(n – 1)d]q^{n – 1}$，代入$a_{1,1}=1$，$d = 2$，$q = -2$，得$b_{n}=a_{n,n}=(2n – 1)\cdot (-2)^{n – 1}$。
(2) 求实数$\lambda$的值先求$a_{n,1}$和$S_{n}$：
$a_{n,1}=a_{1,1}q^{n – 1}=(-2)^{n – 1}$；
$S_{n}=a_{1,1}+a_{2,1}+\cdots +a_{n,1}=\displaystyle \frac{1 – (-2)^{n}}{1 + 2}=\displaystyle \frac{1 – (-2)^{n}}{3}$。
由$a_{n,1}\leq \lambda S_{n}$，得$(-2)^{n – 1}\leq \lambda \cdot \displaystyle \frac{1 – (-2)^{n}}{3}$，即$3\cdot (-2)^{n – 1}\leq \lambda [1 – (-2)^{n}]$。
① 当$n$为偶数时，原式化为$-3\cdot 2^{n – 1}\leq \lambda (1 – 2^{n})$，即$3\cdot 2^{n – 1}\leq \lambda (2^{n} – 1)$，则$\lambda \geq \displaystyle \frac{3\cdot 2^{n – 1}}{2^{n} – 1}$。
对$\displaystyle \frac{3\cdot 2^{n – 1}}{2^{n} – 1}$变形：$\displaystyle \frac{3\cdot 2^{n – 1}}{2^{n} – 1}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{2}\cdot 2^{n}}{\displaystyle \frac{3}{2}\cdot 2^{n} – \displaystyle \frac{3}{2}}=\displaystyle \frac{3}{2}+\displaystyle \frac{3}{2(2^{n} – 1)}$。
因为$\displaystyle \frac{3}{2}+\displaystyle \frac{3}{2(2^{n} – 1)}<\displaystyle \frac{3}{2}$，所以$\lambda \leq \displaystyle \frac{3}{2}$。
② 当$n$为奇数时，原式化为$3\cdot 2^{n – 1}\leq \lambda (1 + 2^{n})$，则$\lambda \geq \displaystyle \frac{3\cdot 2^{n – 1}}{1 + 2^{n}}$。
对$\displaystyle \frac{3\cdot 2^{n – 1}}{1 + 2^{n}}$变形：$\displaystyle \frac{3\cdot 2^{n – 1}}{1 + 2^{n}}=\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{2}\cdot 2^{n}}{\displaystyle \frac{3}{2}\cdot 2^{n} + \displaystyle \frac{3}{2}}=\displaystyle \frac{3}{2}-\displaystyle \frac{3}{2(1 + 2^{n})}$。
因为$\displaystyle \frac{3}{2}-\displaystyle \frac{3}{2(1 + 2^{n})}<\displaystyle \frac{3}{2}$，所以$\lambda \geq \displaystyle \frac{3}{2}$。
综上，$\lambda = \displaystyle \frac{3}{2}$。