本题由2023级22班李俊梦讲解！
题目1
某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为\(\displaystyle \frac{4}{5}\)，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）
解析：
这是独立重复试验问题，符合二项分布\(X \sim B(3, \displaystyle \frac{4}{5})\)。
播下3粒种子恰有2粒发芽的概率计算公式为：
\(P(X=2) = C_3^2 \times \left(\displaystyle \frac{4}{5}\right)^2 \times \left(1-\displaystyle \frac{4}{5}\right)^1\)
计算过程：
\(C_3^2 = \displaystyle \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\)
\(\left(\displaystyle \frac{4}{5}\right)^2 = \displaystyle \frac{16}{25}\)，\(\left(1-\displaystyle \frac{4}{5}\right) = \displaystyle \frac{1}{5}\)
因此\(P(X=2) = 3 \times \displaystyle \frac{16}{25} \times \displaystyle \frac{1}{5} = \displaystyle \frac{48}{125}\)，正确答案为C。
这是独立重复试验问题，符合二项分布\(X \sim B(3, \displaystyle \frac{4}{5})\)。
播下3粒种子恰有2粒发芽的概率计算公式为：
\(P(X=2) = C_3^2 \times \left(\displaystyle \frac{4}{5}\right)^2 \times \left(1-\displaystyle \frac{4}{5}\right)^1\)
计算过程：
\(C_3^2 = \displaystyle \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\)
\(\left(\displaystyle \frac{4}{5}\right)^2 = \displaystyle \frac{16}{25}\)，\(\left(1-\displaystyle \frac{4}{5}\right) = \displaystyle \frac{1}{5}\)
因此\(P(X=2) = 3 \times \displaystyle \frac{16}{25} \times \displaystyle \frac{1}{5} = \displaystyle \frac{48}{125}\)，正确答案为C。
题目2
某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为\(X\)，则\(P(X=2)=\)（ ）
解析：
这是超几何分布问题，计算公式为：
\(P(X=k) = \displaystyle \frac{C_M^k \times C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)（其中N=总数，M=红球数，n=抽取数，k=抽到红球数）
本题中：N=6，M=4，n=3，k=2
计算过程：
分子：\(C_4^2 \times C_2^1 = \displaystyle \frac{4!}{2!2!} \times \displaystyle \frac{2!}{1!1!} = 6 \times 2 = 12\)
分母：\(C_6^3 = \displaystyle \frac{6!}{3!3!} = 20\)
因此\(P(X=2) = \displaystyle \frac{12}{20} = \displaystyle \frac{3}{5}\)，正确答案为C。
这是超几何分布问题，计算公式为：
\(P(X=k) = \displaystyle \frac{C_M^k \times C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\)（其中N=总数，M=红球数，n=抽取数，k=抽到红球数）
本题中：N=6，M=4，n=3，k=2
计算过程：
分子：\(C_4^2 \times C_2^1 = \displaystyle \frac{4!}{2!2!} \times \displaystyle \frac{2!}{1!1!} = 6 \times 2 = 12\)
分母：\(C_6^3 = \displaystyle \frac{6!}{3!3!} = 20\)
因此\(P(X=2) = \displaystyle \frac{12}{20} = \displaystyle \frac{3}{5}\)，正确答案为C。
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