典型问题一
例1. (2025·广东广州·模拟预测) 某检测中心在化验血液时有两种化验方法:
①逐份化验法: 将血液样本逐份进行化验, 则\( n(n \in \mathbb{N}^*) \)份血液样本共需要化验\( n \)次.
②混合化验法: 将\( n(n \in \mathbb{N}^*, n \geq 2) \)份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性, 则这\( n \)份血液均为阴性, 此时共化验1次; 若化验结果呈阳性, 为了确定阳性血液, 就需要再采取逐份化验, 故此共需要化验\( n+1 \)次.
(1)现有5份血液样本, 其中有2份为阳性血液, 现采取逐份化验法进行化验, 求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率;
(2)现有10份血液样本, 每份呈阳性的概率为\( \frac{1}{2} \), 采用5份为一组的混合化验法进行化验, 记这10份血液样本需要化验的总次数为\( X \), 求随机变量\( X \)的分布列;
(3)现有\( k \)份血液样本, 每份呈阳性的概率为\( p=1-\frac{1}{\sqrt[3]{e}} \), 记采用逐份化验法时需要化验的次数为\( \xi \), 采用\( k \)份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为\( \eta \), 当\( E(\xi) > E(\eta) \)时, 求\( k \)的最大值.
(参考数据: \(\ln 4 \approx 1.3863,\ln 5 \approx 1.6094\))
①逐份化验法: 将血液样本逐份进行化验, 则\( n(n \in \mathbb{N}^*) \)份血液样本共需要化验\( n \)次.
②混合化验法: 将\( n(n \in \mathbb{N}^*, n \geq 2) \)份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性, 则这\( n \)份血液均为阴性, 此时共化验1次; 若化验结果呈阳性, 为了确定阳性血液, 就需要再采取逐份化验, 故此共需要化验\( n+1 \)次.
(1)现有5份血液样本, 其中有2份为阳性血液, 现采取逐份化验法进行化验, 求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率;
(2)现有10份血液样本, 每份呈阳性的概率为\( \frac{1}{2} \), 采用5份为一组的混合化验法进行化验, 记这10份血液样本需要化验的总次数为\( X \), 求随机变量\( X \)的分布列;
(3)现有\( k \)份血液样本, 每份呈阳性的概率为\( p=1-\frac{1}{\sqrt[3]{e}} \), 记采用逐份化验法时需要化验的次数为\( \xi \), 采用\( k \)份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为\( \eta \), 当\( E(\xi) > E(\eta) \)时, 求\( k \)的最大值.
(参考数据: \(\ln 4 \approx 1.3863,\ln 5 \approx 1.6094\))
典型问题二
18. 由\( mn \)个小正方形构成的长方形网格有\( m \)行和\( n \)列, 每次将一个小球放到一个小正方形内, 放满为止.
(1) 第一行中的\( n \)个小球颜色互不相同, 其余行都由这\( n \)个小球以不同的顺序组成, 如果要使任意两行的顺序都不相同, 求\( m \)的最大值;
(2) 长方形网格中只放白球或黑球, 每个小正方形内放白球的概率为\( p \), 放黑球的概率为\( q \), \( p + q = 1 \).
(i) 若\( m = n = 2 \), \( p = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{2}{3} \), 记在每列都有黑球的条件下, 含白球的行数为随机变量\( \xi \), 求\( \xi \)的分布列和数学期望;
(ii) 设事件\( A = \)“不是每一列都有黑球”, 求\( p(A) \), 并证明: \( (1 - p^m)^n + (1 - q^n)^m \geq 1 \).
(1) 第一行中的\( n \)个小球颜色互不相同, 其余行都由这\( n \)个小球以不同的顺序组成, 如果要使任意两行的顺序都不相同, 求\( m \)的最大值;
(2) 长方形网格中只放白球或黑球, 每个小正方形内放白球的概率为\( p \), 放黑球的概率为\( q \), \( p + q = 1 \).
(i) 若\( m = n = 2 \), \( p = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{2}{3} \), 记在每列都有黑球的条件下, 含白球的行数为随机变量\( \xi \), 求\( \xi \)的分布列和数学期望;
(ii) 设事件\( A = \)“不是每一列都有黑球”, 求\( p(A) \), 并证明: \( (1 - p^m)^n + (1 - q^n)^m \geq 1 \).
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例1. (2025·广东广州·模拟预测) 某检测中心在化验血液时有两种化验方法:
①逐份化验法: 将血液样本逐份进行化验, 则\( n(n \in \mathbb{N}^*) \)份血液样本共需要化验\( n \)次.
②混合化验法: 将\( n(n \in \mathbb{N}^*, n \geq 2) \)份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性, 则这\( n \)份血液均为阴性, 此时共化验1次; 若化验结果呈阳性, 为了确定阳性血液, 就需要再采取逐份化验, 故此共需要化验\( n+1 \)次.
(1)现有5份血液样本, 其中有2份为阳性血液, 现采取逐份化验法进行化验, 求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率;
(2)现有10份血液样本, 每份呈阳性的概率为\( \frac{1}{2} \), 采用5份为一组的混合化验法进行化验, 记这10份血液样本需要化验的总次数为\( X \), 求随机变量\( X \)的分布列;
(3)现有\( k \)份血液样本, 每份呈阳性的概率为\( p=1-\frac{1}{\sqrt[3]{e}} \), 记采用逐份化验法时需要化验的次数为\( \xi \), 采用\( k \)份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为\( \eta \), 当\( E(\xi) > E(\eta) \)时, 求\( k \)的最大值.
(参考数据: \(\ln 4 \approx 1.3863,\ln 5 \approx 1.6094\))
①逐份化验法: 将血液样本逐份进行化验, 则\( n(n \in \mathbb{N}^*) \)份血液样本共需要化验\( n \)次.
②混合化验法: 将\( n(n \in \mathbb{N}^*, n \geq 2) \)份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性, 则这\( n \)份血液均为阴性, 此时共化验1次; 若化验结果呈阳性, 为了确定阳性血液, 就需要再采取逐份化验, 故此共需要化验\( n+1 \)次.
(1)现有5份血液样本, 其中有2份为阳性血液, 现采取逐份化验法进行化验, 求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率;
(2)现有10份血液样本, 每份呈阳性的概率为\( \frac{1}{2} \), 采用5份为一组的混合化验法进行化验, 记这10份血液样本需要化验的总次数为\( X \), 求随机变量\( X \)的分布列;
(3)现有\( k \)份血液样本, 每份呈阳性的概率为\( p=1-\frac{1}{\sqrt[3]{e}} \), 记采用逐份化验法时需要化验的次数为\( \xi \), 采用\( k \)份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为\( \eta \), 当\( E(\xi) > E(\eta) \)时, 求\( k \)的最大值.
(参考数据: \(\ln 4 \approx 1.3863,\ln 5 \approx 1.6094\))
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18. 由\( mn \)个小正方形构成的长方形网格有\( m \)行和\( n \)列, 每次将一个小球放到一个小正方形内, 放满为止.
(1) 第一行中的\( n \)个小球颜色互不相同, 其余行都由这\( n \)个小球以不同的顺序组成, 如果要使任意两行的顺序都不相同, 求\( m \)的最大值;
(2) 长方形网格中只放白球或黑球, 每个小正方形内放白球的概率为\( p \), 放黑球的概率为\( q \), \( p + q = 1 \).
(i) 若\( m = n = 2 \), \( p = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{2}{3} \), 记在每列都有黑球的条件下, 含白球的行数为随机变量\( \xi \), 求\( \xi \)的分布列和数学期望;
(ii) 设事件\( A = \)“不是每一列都有黑球”, 求\( p(A) \), 并证明: \( (1 - p^m)^n + (1 - q^n)^m \geq 1 \).
(1) 第一行中的\( n \)个小球颜色互不相同, 其余行都由这\( n \)个小球以不同的顺序组成, 如果要使任意两行的顺序都不相同, 求\( m \)的最大值;
(2) 长方形网格中只放白球或黑球, 每个小正方形内放白球的概率为\( p \), 放黑球的概率为\( q \), \( p + q = 1 \).
(i) 若\( m = n = 2 \), \( p = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{2}{3} \), 记在每列都有黑球的条件下, 含白球的行数为随机变量\( \xi \), 求\( \xi \)的分布列和数学期望;
(ii) 设事件\( A = \)“不是每一列都有黑球”, 求\( p(A) \), 并证明: \( (1 - p^m)^n + (1 - q^n)^m \geq 1 \).